6.4 解答

6.4

1. 次のことを確認します． $z = f(x,y)$の全微分$df(x,y)$は

$$df(x,y) = f_{x}(x,y)dx + f_{y}(x,y)dy$$

で与えられる． $z = f(x,y)$の勾配$\nabla f$は

$$\nabla f(x,y) = (f_{x}(x,y), f_{y}(x,y)$$

で与えられる． 点 $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})$を通る $z = f(x,y)$の接平面の方程式は

$$z = f(x_{0},y_{0}) + \nabla f(x_{0},y_{0}) \cdot (x - x_{0}, y- y_{0})$$

で与えられる． 点 $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})$を通る $z = f(x,y)$の法線の方程式は

$$(x,y,z) - (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})) = t(f_{x}(x_{0},y_{0},-1)$$

で与えられる．

(a) $f_{x}(x,y) = 3x^2 y^4, f_{y}(x,y) = 4x^3 y^3$より

$$df(x,y) = 3x^2 y^4 dx + 4x^3 y^3 dy$$

$$\nabla f(x,y) = (3x^2 y^4, 4x^3 y^3)$$

点$(1,1)$に対応する点を通る接平面の方程式は

$$z = f(1,1) + \nabla f(1,1) \cdot (x - 1,y-1)$$

$$= 1 + 3(x-1) + 4(y-1) = 3x + 4y -6$$

点$(1,1)$に対応する点を通る法線の方程式は

$$(x,y,z) - (1,1,1) = t(3,4,-1)$$

または，

$$t = \frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z -1}{-1}$$

(b)

$f_{x}(x,y) = 3x^2 y + 2xy^4, f_{y}(x,y) = x^3 + 4x^2 y^3$より

$$df(x,y) = (3x^2y + 2xy^4) dx + (x^3 + 4x^2 y^3) dy$$

$$\nabla f(x,y) = (3x^2y + 2xy^4, x^3 + 4x^2 y^3)$$

点$(1,1)$に対応する点を通る接平面の方程式は

$$z = f(1,1) + \nabla f(1,1) \cdot (x - 1,y-1)$$

$$= 2 + (5,5) \cdot (x-1,y-1) = 2 + 5x - 5 + 5y - 5$$

$$= 5x + 5y - 8$$

点$(1,1)$に対応する点を通る法線の方程式は

$$(x,y,z) - (1,1,2) = t(5,5,-1)$$

または，

$$t = \frac{x-1}{5} = \frac{y-1}{5} = \frac{z -2}{-1}$$

(c)

$z_{x} = 2xye^{2x} + 2x^2 y e^{2x}, z_{y} = x^2 e^{2x}$より

$$dz = (2xye^{2x} + 2x^2 y e^{2x}) dx + x^2 e^{2x}dy$$

$$\nabla f(x,y) = (2xye^{2x} + 2x^2 y e^{2x}, x^2 e^{2x})$$

点$(1,1)$に対応する点を通る接平面の方程式は

$$z = e^2 + (2e^2 + 2e^2,e^{2}) \cdot (x - 1,y-1)$$

$$= e^2 + 4e^2(x-1) + e^2(y-1)$$

点$(1,1)$に対応する点を通る法線の方程式は

$$(x,y,z) - (1,1,e^2) = t(4e^2,e^2,-1)$$

または，

$$t = \frac{x-1}{4e^2} = \frac{y-1}{e^2} = \frac{z - e^2}{-1}$$

(d)

$z_{x} = -y\sin{xy}, z_{y} = -x\sin{xy}$より

$$dz = -y\sin{xy} dx - x\sin{xy}dy$$

$$\nabla z = (-y\sin{xy}, - x\sin{xy})$$

点$(1,1)$に対応する点を通る接平面の方程式は

$$z = \cos{1} + (-\sin{1}, -\sin{1})\cdot (x-1,y-1)$$

$$= \cos{1} - (x-1)\sin{1} - (y-1)\sin{1}$$

点$(1,1)$に対応する点を通る法線の方程式は

$$(x,y,z) - (1,1,\cos{1}) = (-\sin{1},-\sin{1},-1)t$$

または，

$$t = \frac{x-1}{-\sin{1}} = \frac{y-1}{-\sin{1}} = \frac{z - \cos{1}}{-1}$$

2.

(a) $f(x,y) = \sqrt{x}\sqrt[4]{y}$を考えると $f(121,16) = \sqrt{121}\sqrt[4]{16} = 22$．求める値は $f(125,17) = f(121+4,16+1)$．ここで， $\Delta x = 4, \Delta y = 1$とおくと

$$f(121+4,16+1) = f(121,16) + \Delta f(121,16)$$

$$\approx f(121,16) + df(121,16)$$

$$df = f_{x}dx + f_{y}dy$$

$$= \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}dx + \frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{4}}dy$$

$\Delta x = dx, \ \Delta y = dy$ より

$$df(121,16) = \frac{4}{11} + \frac{11}{32} \approx 0.7$$

したがって， $f(125,17) \approx 22.7$

(b) $f(x,y) = \sin{x}\cos{y}$を考えると $f(\pi,\frac{\pi}{3}) = \sin{\pi}\cos{\frac{\pi}{3}} = 0$．求める値は $f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3}) = f(\pi - \frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3})$．ここで， $\Delta x = -\frac{\pi}{7}, \Delta y = 0$とおくと

$$f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3}) = f(\pi,\frac{\pi}{3}) + \Delta f(\pi,\frac{\pi}{3})$$

$$\approx f(\pi,\frac{\pi}{3}) + df(\pi,\frac{\pi}{3})$$

$$df = f_{x}dx + f_{y}dy$$

$$= \cos{x}\cos{y}dx - \sin{x}\sin{y}dy$$

$\Delta x = dx, \ \Delta y = dy$ より

$$df(\pi,\frac{\pi}{3}) = \cos{\pi}\cos{\frac{\pi}{3}}dx - \sin{\pi}\sin{\frac{\pi}{3}}dy =\frac{\pi}{14} \approx 0.22$$

したがって， $f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3}) \approx 0.22$

6.5 解答

1. 方向微分は

$$f_{{\hat u}}'(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot {\hat u}$$

で与えられる．ここで，${\hat u}$は$u$方向の単位ベクトルを表わす．

(a) 単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\Vert(1,\sqrt{3})\Vert} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{(1,\sqrt{3})}{2}$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (2x+1, 1)$$

よって，点$(0,0)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(0,0) = \nabla f(0,0) \cdot {\hat u} = (1,1)\cdot \frac{(1,\sqrt{3})}{2} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{3})$$

(b)

単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\Vert(1,\sqrt{3})\Vert} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{(1,\sqrt{3})}{2}$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (-\sin{x}, \cos{y})$$

よって，点$(0,0)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(0,0) = \nabla f(0,0) \cdot {\hat u} = (0,1)\cdot \frac{(1,\sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

2.

(a) $\frac{2\pi}{3}$方向とは，$x$軸から $\frac{2\pi}{3}$の方向のことである．そこで，単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = (\cos{\frac{2\pi}{3}}, \sin{\frac{2\pi}{3}}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}).$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\frac{x^2y - 2xy^2}{(x-y)^2}, \frac{x^3}{(x-y)^2})$$

よって，点$(1, -1)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(1,-1) = \nabla f(1,-1) \cdot {\hat u} = (-\frac{3}{4},\frac{1}{4})\cdot (-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 + \sqrt{3}}{8}$$

(b) $\frac{2\pi}{3}$方向とは，$x$軸から $\frac{2\pi}{3}$の方向のことである．そこで，単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = (\cos{\frac{2\pi}{3}}, \sin{\frac{2\pi}{3}}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}).$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\frac{2x}{x^2 + y^2}, \frac{2y}{x^2 + y^2})$$

よって，点$(1, -1)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(1,-1) = \nabla f(1,-1) \cdot {\hat u} = (1,-1)\cdot (-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{3})$$

3.

(a) 単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = \frac{(-1,3)}{\Vert(-1,3)\Vert} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\log{y}, \frac{x+1}{y})$$

よって，点$(0,1)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot {\hat u} = (0,1)\cdot \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$$

方向微分が最大になるのは，方向が$\nabla f$と同じ方向のときなので，

$${\hat u} = (0,1)$$

(b) 単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = \frac{(-1,3)}{\Vert(-1,3)\Vert} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (y^2 e^{xy} + (x-1)y^3 e^{xy}, 2(x-1)ye^{xy} + x(x-1)y^2 e^{xy})$$

よって，点$(0,1)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot {\hat u} = (0,-2)\cdot(\frac{(-1,3)}{\sqrt{10}} = \frac{-6}{\sqrt{10}}$$

方向微分が最大になるのは，方向が$\nabla f$と同じ方向のときなので，

$${\hat u} = \frac{(0,-2)}{\Vert(0,-2)\Vert} = (0,-1)$$