2.4 解答

2.4

1.

(a)

$${f'(x) = 3x^2 - 2x = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = 1}$$ より

$$3x^2 - 2x - 1 = 0$$

よって

$$(3x + 1)(x - 1) = 0$$

$$x = -\frac{1}{3}, 1$$

ここで $x$ は区間$(-1,1)$ 内でなければならないので

$$x = -\frac{1}{3}$$

(b)

$${f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{f(1) - f(0)}{1} = \frac{\pi}{2}}$$ より

$$\sqrt{1 - x^2} = \frac{2}{\pi}$$

両辺を2乗して

$$1 - x^2 = (\frac{2}{\pi})^2$$

これを $x$ について解くと

$$x = \pm \sqrt{ 1 - (\frac{2}{\pi})^{2}}$$

ここで $x$ は区間$(0,1)$ 内でなければならないので

$$x = \sqrt{ 1 - (\frac{2}{\pi})^{2}}$$

(c)

$${f'(x) = \frac{1}{x} = \frac{f(e) - f(1)}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}}$$ より

$$x = e - 1$$

ここで $x$ は区間$(1,e)$ 内に入っているので

$$x = e - 1$$

2.

$${f(x) = x - \tan{x}}$$より，

$$f'(x) = 1 - \sec^{2}{x} = 1 - \frac{1}{\cos^{2}{x}} = \frac{\cos^{2}{x} - 1}{\cos^{2}{x}}.$$

ここで， $\cos^{2}{x} \leq 1$で等号は$x = 0$のときだけ．したがって， $f'(x) \leq 0$となり，$f(x)$は $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$で狭義の単調減少関数である．

3.

(a) $${f(x) = \log{(1 + x)} - \frac{x}{1+x}}$$とおくと，$f(0)= 0$となるので$x > 0$で$f'(x) > 0$を示す．

$$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2} > 0$$

(b) $${f(x) = x - \tan^{-1}{x}}$$とおくと，$f(0)= 0$となるので$x > 0$で$f'(x) > 0$を示す．

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} > 0$$

次に， $${g(x) = \tan^{-1}{x} - \frac{x}{1+x^2}}$$とおくと，$f(0)= 0$となるので$x > 0$で$f'(x) > 0$を示す．

$$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2x^2}{(1+x^2)^2} > 0$$

(c) 両辺に対数をとって， $\pi > e\log{\pi}$を示す． $f(x) = x - e\log{x}$とおくと $f(e) = 0$．また$x > e$で

$$f'(x) = 1 - \frac{e}{x} = \frac{x - e}{x} > 0$$

よって $f(\pi) = \pi - e\log{\pi} > 0$

4.

(a) $x = 1$で極大値7，$x = 3$で極小値3

(b) $x = 0$で極小値0， $x = 2$で極大値 $${\frac{4}{e^2}}$$