7.4 広義積分

1.

(a) $\Omega$を図示すると，

この領域上の$x = 0$の線上で被積分関数$e^{y/x}$は定義されていない．そこで，$x = 0$を避けるように，直線 $x = \frac{1}{n}$を引き，図のような領域を考える．この領域をv-simpleで表すと

$$\Omega_{n} = \{(x,y) : \frac{1}{n} \leq x \leq 1, 0 \ leq y \leq x\}$$

$\Omega$上での積分は

$$\iint_{\Omega} e^{y/x}\;dxdy = \lim_{n \to \infty}\iint_{\Omega_{n}}e^{y/x}\; dxdy$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{\frac{1}{n}}^{1}\int_{y=0}^{x}e^{y/x}\; dydx$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{\frac{1}{n}}^{1}[xe^{y/x}]_{0}^{x} \;dx$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{\frac{1}{n}}^{1}(x(e-1) \;dx$$

$$= \lim_{n \to \infty}(e-1)\left[\frac{x^2}{2}\right]_{\frac{1}{n}}^{1} = (e-1)\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2} = \frac{1}{2n^2}) = \frac{e-1}{2}$$

(b) $\Omega$を図示すると，

この領域上の$y = 1-x$の線上で被積分関数 $\frac{x}{\sqrt{1 -x - y}}$は定義されていない．そこで，$y = 1-x$を避けるように，直線 $x = 1 - \frac{1}{n} - x$を引き，図のような領域を考える．この領域をv-simpleで表すと

$$\Omega_{n} = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1-\frac{1}{n}, 0 \ leq y \leq 1- \frac{1}{n} -x\}$$

$\Omega$上での積分は

$$\iint_{\Omega} \frac{x}{\sqrt{1 - x- y}}\;dxdy = \lim_{n \to \infty}\iint_{\Omega_{n}}\frac{x}{\sqrt{1-x-y}}\; dxdy$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{1-\frac{1}{n}}^{1}\int_{y=0}^{1- \frac{1}{n} - x}\frac{x}{\sqrt{1-x-y}}\; dydx$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{1-\frac{1}{n}}^{1}-\left[2x(1 - (x+y)^{1/2}\right]_{0}^{1 - \frac{1}{n} - x}\; dx$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{1-\frac{1}{n}}^{1}\left(-2x(\frac{1}{n})^{1/2} + 2x(1-x)^{1/2}\right)\; dx$$

$$= \lim_{n \to \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n}}(-x^2) + \frac{4(1-x)^{5/2}}{5} - \frac{4(1-x)^{3/2}}{3}\right]_{0}^{1-\frac{1}{n}}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}(-(1 - \frac{1}{n})^{2... ...}{n})^{5/2} - \frac{4}{3}(\frac{1}{n})^{3/2} - \frac{4}{5} + \frac{4}{3}\right)$$

$$= \frac{8}{15}$$

(c) $\Omega$を図示すると，

この領域上の $x^2 + y^2 = 0$で被積分関数 $\log(x^2 + y^2)$は定義されていない．そこで， $x^2 + y^2 = 0$を避けるように，弧 $r = \frac{1}{n}$を描き，図のような領域を考える．この領域を平面の曲座標で表すと

$$\Omega_{n} = \{(r,\theta) : 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \frac{1}{n} \ leq r \leq 1\}$$

$\Omega$上での積分は

$$\iint_{\Omega} \log(x^2 + y^2)\;dxdy = \lim_{n \to \infty}\iint_{\Omega_{n}}$$

$$log(x^2 + y^2)\; dxdy$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=\frac{1}{n}}^{1}\log{r^2} \cdot r\; dr d\theta$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\int_{t=\frac{1}{n^2}}^{1}\log{t} \cdot \frac{dt}{2}\; d\theta$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\left[t\log{t} - t\right]_{\frac{1}{n^2}}~{1}\; d\theta$$

$$= \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\left(-1 - \frac{1}{n^2}\log(\frac{1}{n^2}) - \frac{1}{n^2}\right)\; d\theta$$

$$= -\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$$