$\chi ^{2}$分布

数理統計演習問題14

1. 母集団が正規分布であるとする。$n$が20の標本から標本分散を求めたところ，その値は1.5であった。母分散が1のとき，標本分散が1.5より大きい確率を求めよ。

問題解答

I. $P_{r}(S^{2} \geq 1.5)$を求める。 $X_{i} \sim N(\mu,1)$より，

$$Y = \sum_{i=1}^{20}(X_{i} - \bar{X})^{2} = 19S^{2}$$

は自由度19の$\chi ^{2}$分布に従う。したがって，

$$P_{r}(S^{2} \geq 1.5) = P_{r}(19S^{2} \geq 28.5)$$

$$= P_{r}(\chi_{19}^{2} \geq 28.5)$$

ここで，$\chi ^{2}$分布表を用いると， $P_{r}(\chi_{19}^{2} > 27.20) = 0.10$で $P_{r}(\chi_{19}^{2} > 30.14) = 0.05$より，

$$P_{r}(\chi_{19}^{2} \geq 28.5) = 0.05 + \frac{28.5-27.20}{30.14 - 27.20}(0.10 - 0.05) \approx 0.07$$