定理 5..5 (微分法則)
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証明 定義より
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上の定理を繰り返し適用することにより,次の公式を得ることができます.
定理 5..6 (積分法則)
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証明
(が連続の場合)
とおくと,
. また
は指数位数の関数より,
解
より
. 次に
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解
.積分法則より
別解
定理 5..7
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証明
定義より
.
は指数位数より
も指数位数となり,
は存在する.また
は区分的に連続なので微分と積分の順序の交換が可能である.したがって,
上の定理をくり返し適用すれば,次の系が得られます.
系 5..1
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解
.よって
解
は私たちが知っている関数のラプラス変換に似ていません.そこで
を考えて見ます.
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図5.3,5.4,5.5のような関数を周期関数(periodic function)といいます.周期関数のラプラス変換は次の定理より簡単に求めることができます.
定理 5..8
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証明
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解
(a) 関数は,区間
で
の周期1の関数より
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(b) 関数は,区間
で
,区間
で0の周期
の関数だから
(c) 関数は,
.また
より
.したがって
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ここまでに扱った法則をまとめてみると次のような表5.2にすることができます.これらはラプラス変換の一般的な性質ですので次に進む前に各自使えるようにしておいて下さい.
この節を閉じる前にラプラス変換の有用性について述べておきます.そのための例として,上に掲げたラプラス変換の性質をもちいて初期値問題の解のラプラス変換を求めてみます.
解 両辺にラプラス変換を施すと,