の
が実行列のとき,複素指数や複素ベクトルの存在は扱いにくいものです.とくに初期値
が実数のときはなおさらです.そこで解を実数と実関数だけで表わす必要があります.
を実行列,
が複素固有値で
が
に対する固有ベクトルだとすると固有方程式(eigenequation)
解
まず,固有値に対応する固有ベクトルを求めると
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次に固有値に対応する固有ベクトルを求める.
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さて,行列の特性方程式が重根をもつ場合はどうでしょう.この場合も,
が対角化可能(つまり,重複度と同数の一次独立な固有ベクトルをもつ)ならば,単根のときと同じように一般解を求めることができます.では
が対角化不可能の場合はどうでしょう.こんな場合に便利な方法として行列の指数関数を用いる方法があります.
の解として,
が
の解であったように,
を考えます.ただし
は
次の正方行列,
は定数ベクトルです.これが可能なためには
に意味づけを行なう必要があります.そこで
のMaclaurin級数
ここでひとつ問題があります.それは,どうやって
を計算するかということです.定義を使うと無限級数の計算をすることになりますが,じつは無限級数の計算をせずに,解を求める方法があるのです.まず
の展開を考えて下さい.つまり,
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解
は三次の正方行列なので一般解を表わすには,
つの一次独立な解が必要である.そこで
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