演習問題

1.

次の集合のうち直交系はどれか．また直交系は対応する正規直交系を求めよ．

(a)

$${ \{(1,3),(6,-2)\}}$$

(b)

$${ \{(1,2,2),(-2,2,-1),(2,1,-2)\}}$$

(c)

$${ \{{\bf i} - 2{\bf j} + 3{\bf k}, 2{\bf i} - \frac{1}{2}{\bf j} - \frac{1}{3}{\bf k}, 3{\bf i} + 3{\bf j} + {\bf k}\}}$$

2.

$f(x),g(x)$を$PC[a,b]$の関数とするとき，次の不等式を証明せよ．

$$\vert(f,g)\vert \leq \vert\vert f\vert\vert \vert\vert g\vert\vert$$

この結果はSchwarzの不等式と呼ばれる．

3.

$PC[0,2]$において，次の関数のノルムを求めよ．

(a)

$${ f(x) = x}$$

(b)

$${ f(x) = \sin{\pi x}}$$

(c)

$${ f(x) = \cos{\pi x}}$$

4.

次にあげる3個の多項式はLegendreの多項式と呼ばれるものです．

$$P_{0}(x) = 1, \ \ P_{1}(x) = x, \ \ P_{2}(x) = \frac{3x^2 - 1}{2}$$

これらは$PC[-1,1]$で直交系をなすことを示せ．