演習問題

1.

次の級数の収束半径を求めよ．

(a)

$${ \sum \frac{nx^{n}}{3^{n}}}$$

(b)

$${ \sum \frac{n^{n}x^{n}}{n!}}$$

2.

次のことを示せ．

(a)

$${ \sum_{n=0}^{\infty}x^{n} = \frac{1}{1 - x}, \ \vert x\vert < 1}$$

(b)

$${ \log{(1+x)} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}, \ \vert x\vert \leq 1}$$

3.

$${ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n^3}}$$のとき，次のことを示せ．

(a)

$f(x)$は $-\infty < x < \infty$で一様収束する．

(b)

$${ f^{\prime}(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos{nx}}{n^2}}$$

(c)

$${ \int_{0}^{\pi}f(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)^{4}}}$$