演習問題


1.
次の級数の収束半径を求めよ.
(a)
$\displaystyle{ \sum \frac{nx^{n}}{3^{n}}}$
(b)
$\displaystyle{ \sum \frac{n^{n}x^{n}}{n!}}$
2.
次のことを示せ.
(a)
$\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}x^{n} = \frac{1}{1 - x}, \ \vert x\vert < 1}$
(b)
$\displaystyle{ \log{(1+x)} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}, \ \vert x\vert \leq 1}$
3.
$\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{n^3}}$のとき,次のことを示せ.
(a)
$f(x)$ $-\infty < x < \infty$で一様収束する.
(b)
$\displaystyle{ f^{\prime}(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos{nx}}{n^2}}$
(c)
$\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}f(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)^{4}}}$