5.3.2 解答

5.3.2

1.

(a)両辺にラプラス変換を施すと

$${\cal L}\{y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} - 5y\} = {\cal L}\{e^{t}\}$$

微分法則を用いて変形すると

$$s^{2}Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0) + 4(sY(s) - y(0)) - 5Y(s) = \frac{1}{s-1}$$

初期値 $y(0) = 0 , y^{\prime}(0) = 1$を代入すると

$$s^2 Y(s) - 1 + 4sY(s) - 5Y(s) = \frac{1}{s-1}$$

これを$Y(s)$について解くと

$$Y(s)(s^2 + 4s -5) = \frac{1}{s-1} + 1 = \frac{s}{s-1}$$

より

$$Y(s) = \frac{s}{(s-1)(s^2+4s-5)} \ \ \ \framebox{終}$$

(b)両辺にラプラス変換を施すと

$${\cal L}\{y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y\} = {\cal L}\{e^{-t}\}$$

微分法則を用いて変形すると

$$s^{2}Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0) + 4(sY(s) - y(0)) + 4Y(s) = \frac{1}{s+1}$$

初期値 $y(0) = 1, y^{\prime}(0) = 1$を代入すると

$$s^2 Y(s) - s - 1 + 4sY(s) - 4 + 4Y(s) = \frac{1}{s+1}$$

これを$Y(s)$について解くと

$$Y(s)(s^2 + 4s + 4) = \frac{1}{s+1} + s + 5 = \frac{1+s^2 + 6s + 5}{s+1}$$

より

$$Y(s) = \frac{s^2 + 6s + 6}{(s+1)(s^2+4s+4)} \ \ \ \framebox{終}$$

(c)両辺にラプラス変換を施すと

$${\cal L}\{y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} - 5y\} = {\cal L}\{f(t)\}$$

微分法則を用いて変形すると

$$s^{2}Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0) + 4(sY(s) - y(0)) - 5Y(s) = {\cal L}\{2u_{0}(t) + (\cos{t} -2)u_{\pi}(t)\}$$

初期値 $y(0) = 0 , y^{\prime}(0) = 0$を代入すると

$$s^2 Y(s) + 4sY(s) - 5Y(s) = \frac{2}{s} + e^{-\pi s}{\cal L}\{\cos{t+\pi} - 2\}$$

これを$Y(s)$について解くと

$$Y(s)(s^2 + 4s -5) = \frac{2}{s} + e^{-\pi s}(\frac{-s}{s^2 + 1} - \frac{2}{s})$$

よって

$$Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4s -5}(\frac{2(1-e^{-\pi s})}{s} - \frac{se^{-\pi s}}{s^2 + 1}) \ \ \framebox{終}$$