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ラプラス逆変換

ラプラス変換$ F(s)$が与えられたとき，ラプラス変換が$ F(s)$となるような関数$ f(t)$を求める準備ができました．

定義 5.4   $ {\cal L}\{f(t)\} = F(s)$となるような$ t$の関数$ f(t)$が存在するとき，$ f(t)$を$ F(s)$のラプラス逆変換といい，次のようにあらわします．

$\displaystyle {\cal L}^{-1}[F(s)] = f(t) . $


ラプラス逆変換を求めるとき，次の変換表は便利です．


表 5.3: ラプラス逆変換表
$ F(s)$ $ f(t) = {\cal L}^{-1}\{F(s)\}$
$ \frac{1}{(s-a)^{n}}$ $ \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{at}$
$ \frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2}$ $ e^{at}\cos{bt}$
$ \frac{b}{(s-a)^2 + b^2}$ $ e^{at}\sin{bt}$

例題 5.22   次の関数のラプラス逆変換を求めよ．

$\displaystyle Y(s) = \frac{ 1 - e^{-\pi s}}{s(s^2 + 2s + 5)}. $

解

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s(s^2 + 2s +5)} - \frac{e^{-\pi s}}{s(s^2 + 2s + 5)} $

より，まず $ \frac{1}{s(s^2 + 2s +5)}$の逆変換を求める．
$ \frac{1}{s(s^2 + 2s +5)}$を部分分数分解すると

$\displaystyle \frac{1}{s(s^2 + 2s +5)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 2s + 5}. $

ここで定数$ A,B,C$の求め方はいろいろありますが，ここでは次のようにして求めます．

$\displaystyle A = s(\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)})\mid_{s=0}, $

$\displaystyle (Bs + C)\mid_{s^2+2s+5 = 0} = (s^2+2s+5)\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)})\mid_{s=-1+2i} = \frac{1}{s}\mid_{s=-1+2i}. $

これより　

$\displaystyle A = \frac{1}{5}, B = -\frac{1}{5}, C = -\frac{2}{5}. $

よって
$\displaystyle {\cal L}^{-1}[\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)}]$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal L}^{-1}[\frac{1/5}{s}] -\frac{1}{5}\frac{s+2}{s^2+2s +5}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{5} -\frac{1}{5}{\cal L}^{-1}[\frac{s+1+1}{(s+1)^2 + 2^2}]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{5} -\frac{1}{5}(e^{-t}\cos{2t}+\frac{1}{2}e^{-t}\sin{2t}) .$  

次に $ \frac{e^{-\pi s}}{s(s^2+2s+5)}$の逆変換は第２移動法則をつかって求める．第２移動法則より

$\displaystyle {\cal L}^{-1}[\frac{e^{-\pi s}}{s(s^2+2s+5)}] = u_{\pi}(t)f(t-\pi), $

ただし，

$\displaystyle f(t) = {\cal L}^{-1}[\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)}] = \frac{1}{5} -\frac{1}{5}(e^{-t}\cos{2t}+\frac{1}{2}e^{-t}\sin{2t}). $

よって
    $\displaystyle {\cal L}^{-1}[\frac{e^{-\pi s}}{s(s^2+2s+5)}] = u_{\pi}(t)f(t-\pi)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle u_{\pi}(t)(\frac{1}{5} - \frac{1}{5}(e^{-(t-\pi)}(\cos{2(t-\pi)}+\frac{\sin{2(t-\pi)}}{2})))$  

となり，これより
$\displaystyle y(t) = {\cal L}^{-1}[Y(s)]$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{5} -\frac{1}{5}(e^{-t}\cos{2t}+\frac{1}{2}e^{-t}\sin{2t})$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle u_{\pi}(t)(\frac{1}{5} - \frac{1}{5}(e^{-(t-\pi)}(\cos{2(t-\pi)}+\frac{\sin{2(t-\pi)}}{2}))) . \ensuremath{\ \blacksquare}$  

例題 5.23   $ F(s) = \frac{1}{(s-2)^{2}(s^2-2s-3)}$のとき $ {\cal L}^{-1}[F(s)]$を求めよ．

解 $ F(s)$を部分分数分解を用いて展開すると

$\displaystyle F(s) = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{(s-2)^{2}} + \frac{C}{s-3} + \frac{D}{s+1} $

これより$ A,B,C,D$を求めると，

$\displaystyle B = (s-2)^{2}(\frac{1}{(s-2)^{2}(s^2-2s-3)})\mid_{s=2} = -\frac{1}{3} $

$\displaystyle A = \{(s-2)^{2}(\frac{1}{(s-2)^{2}(s^2-2s-3)})\}^{\prime}\mid_{s=2} = -\frac{2}{9} $

$\displaystyle C = (s-3)(\frac{1}{(s-2)^{2}(s+1)(s-3)})\mid_{s=3} = \frac{1}{4} $

$\displaystyle D = (s+1)(\frac{1}{(s-2)^{2}(s+1)(s-3)})\mid_{s=3} = -\frac{1}{36} $

よって

$\displaystyle {\cal L}^{-1}\{F(s)\} = -\frac{2e^{2t}}{9} - \frac{te^{2t}}{3} + \frac{e^{3t}}{4} - \frac{e^{-t}}{36} . \ensuremath{\ \blacksquare}$


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Administrator 平成26年9月18日