複素数と複素平面

$x^2 + 1 = 0$の解は実数${\cal R}$上では存在しない.そこで,この方程式が解けるようにするために虚数単位$i$が導入された.つまり, $i^2 + 1 = 0$となったわけである.

虚数単位を取り入れることにより,複素数(complex number)とよばれる新しい数の体系ができた.$x,y$を実数とする.これを $x,y \in {\cal R}$と表わし,$x + yi$を複素数という.

複素数 $z = x + yi$直交形式 , $z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$極形式 という.ただし, $i^{2} = -1$

複素数 $z = x + yi$$x$実部 といい, $x = {\rm Re} z$, $y$虚部といい $y = {\rm Im} z$で表わす.

$z = x + yi$を平面上の直交座標形の点$(x,y)$に対応させたとき,この平面を複素平面(complex plane)または,Gauss平面という.

$z$の絶対値は $\vert z\vert = r = \sqrt{x^2 + y^2} \geq 0$.また,原点と$z$を結ぶ半直線が実軸となす角$\theta$偏角といい,偏角 は $\arg z = \theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}} \ (-\pi < \theta \leq \pi)$で表わされる.

$z$の共役複素数は $\overline{z} = x - yi = r(\cos{\theta} - i\sin{\theta}) = re^{-i\theta}$で表わされる.

複素数の演算は,実数の演算と同じで$i^2$$-1$で置き換えればよい.

練習問題1.1
1. 複素平面上で点 $-3,2i,4+i,2-2i$を図示せよ.

2. 次の定理を証明せよ.

(a)
$\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$
(b)
$\bar{z_{1}z_{2}} = \bar{z_{1}}\bar{z_{2}}$
(c)
$Re(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}$

3. 次の不等式を証明せよ.

(a)
$Re{z} \leq \vert z\vert$
(b)
$\vert z_{1} + z_{2}\vert \leq \vert z_{1}\vert + \vert z_{2}\vert$
(c)
$\vert\vert z_{1}\vert - \vert z_{2}\vert\vert \leq \vert z_{1} - z_{2}\vert$

4. 次の複素数を極形式で表わせ.

(a)
$-1 + i$
(b)
$3 - \sqrt{3}i$
(c)
$-1$
(d)
$2i$

5. 次の式を満たす点はどのような曲線を描くか.

(a)
$\arg z = 一定$
(b)
$\vert z\vert = 一定$
(c)
$\vert z - 1\vert = \vert z - i\vert$
(d)
$\vert z - 2i\vert = 3$
(e)
$\vert z + 3\vert = 3\vert z - 1\vert$
(f)
$z - \bar{z} = 2i$