指数関数

定義 2..1   $w = e^{z} = e^{x}(\cos{y} + i\sin{y})$を指数関数といい，$w = e^{z}$あるいは $w = \exp{z}$と表わす．

定理 2..1 (1)   $e^{z_{1} + z_{2}} = e^{z_{1}}e^{z_{2}}, \ (e^{z})^{n} = e^{nz} \ (nは整数)$
(2) $e^{z}$は周期$2\pi i$を持つ．

証明 (1) $z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$とすると，

$$e^{z_{1} + z_{2}} = e^{x_{1} + x_{2} + i(y_{1} + y_{2})}$$

$$= e^{x_{1} + x_{2}}(\cos{(y_{1} + y_{2})} + i\sin(y_{1} + y_{2}))$$

$$= e^{x_{1} + x_{2}}[\cos{y_{1}}\cos{y_{2}} - \sin{y_{1}}\sin{y_{2}} + i(\sin{y_{1}}\cos{y_{2}} + \cos{y_{1}}\sin{y_{2}})]$$

$$= e^{x_{1} + x_{2}}[(\cos{y_{1}} + i\sin{y_{1}})(\cos{y_{2}}+i\sin{y_{2}})]$$

$$= e^{x_{1}}(\cos{y_{1}} + i\sin{y_{1}})e^{x_{2}}(\cos{y_{2}}+i\sin{y_{2}})$$

$$= e^{z_{1}}e^{z_{2}}$$

(2) $e^{z + c} = e^{z}$が成り立つとき，関数$e^{z}$は周期$c$を持つという． そこで， $e^{z + c} = e^{z}$とおくと $e^{z}e^{c} = e^{z}$より$e^{c} = 1$． $c = a + bi$とおくと $e^{c} = e^{a + bi} = e^{a}(\cos{b} + i\sin{b}) = 1$より $e^{a}\cos{b} = 1, e^{a}\sin{b} = 0$．これより $a = 0, \cos{b} = 1, \sin{b} = 0$．これを満たす$b$は $b = 2n\pi ( n = 0, \pm1,\pm2,\ldots)$．したがって，$e^{z}$は周期$2\pi i$を持つ．

練習問題2.3

1. 次の式を満たす複素数を求めよ．

(a)

$e^{z} = 1$

(b)

$e^{z} = i$

(c)

$e^{z} = -2$

2. 次の値を$u+ iv$の形で表せ．

(a)

$\sin{2i}$

(b)

$\sin{\left(\frac{\pi}{2} + i\right)}$

(c)

$\cos{\left(\frac{\pi}{3} - i\right)}$

(d)

$\tan{\left(\frac{\pi}{6} + 2i\right)}$

(e)

$\sin(iy)$

(f)

$\cos(iy)$

3. 次の公式を証明せよ．

(a)

$1 + \tan^{2}{z} = \frac{1}{\cos^{2}{z}}$

(b)

$\sin{(-z)} = -\sin{z}$

(c)

$\cos(-z) = \cos{z}$

4. $\sin{z}$について次のことが成り立つことを示せ．

(a)

$\sin{z}$は周期$2\pi$を持つ

(5) $\tan{z}$の周期を求めよ．