ドゥモワブルの定理とオイラーの公式

練習問題1.2

1. De Moivreの定理を証明せよ．

2. 次の複素数を簡単にせよ．

(a)

$\left(\frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)^{7}$

(b)

$(\sqrt{3} - i)^{6}$

(c)

$\frac{(1 + \sqrt{3}i)^{6}}{(-1 + i)^{10}}$

3. 次の方程式を解け．

(a)

$z^2 = i$

(b)

$z^3 = -1$

(c)

$z^4 = -1 + \sqrt{3}i$

4. 次の値を$x + iy$の形(直交形式)で表わせ．

(a)

$e^{i\frac{3}{4}\pi}$

(b)

$e^{-i\frac{1}{6}\pi}$

(c)

$e^{2 + i\pi}$

(d)

$e^{2- i\frac{3}{2}\pi}$

5. 次の複素数を $re^{i\theta}$の形(極形式)で表わせ．

(a)

$-2$

(b)

$i$

(c)

$1+i$

(d)

$\sqrt{3} - i$

(6) $\vert z\vert = 1$であるための必要十分条件は $z = e^{i\theta}$の形に表わせることである．これを証明せよ．