2.1 複素数の関数

1. $z = x + iy$ $w = u + iv$より$w = z^2$を計算すると

$\displaystyle w = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy) = u + iv $

これより $u = x^2 - y^2$$v = 2xy$となる.次に,この式を$x,y$について解く. $v = 2xy$より $y = \frac{v}{2x}$.これを $u = x^2 - y^2$に代入すると

$\displaystyle u = x^2 - (\frac{v}{2x})^2 = x^2 - \frac{v^2}{4x^2} $

両辺を$4x^2$倍すると

$\displaystyle 4x^4 - 4x^2 u - v^2 = 0 $

これは$x^2$についての2次式と考えることができる.つまり$x^2 = X$とおく. よって,解の公式から

$\displaystyle x^2 = \frac{2u \pm \sqrt{4u^2 + 4v^2}}{4} = \frac{u \pm \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$

ここで,$x$は実部であることに注意すると,

$\displaystyle x^2 = \frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$

これより

$\displaystyle x = \pm \sqrt{\frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}}$

を得る.次に$y$を求める. $u = x^2 - y^2$より

$\displaystyle y^{2} = x^2 - u = \frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2} - u = \frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2} $

よって

$\displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}} $

次に$z$平面の実軸に平行な直線 $y = \pm b  (b > 0)$がどんな曲線に写されるか考える. 上の式から$y = \pm b$

$\displaystyle y = \pm b = \pm \sqrt{\frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}} $

を満たす. よって

$\displaystyle b^2 = \frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2} $

となり $v^2 = 4b^2(b^2 + u)$という放物線に写される.

同様に,$z$平面の虚軸に平行な直線 $x = \pm a  (a > 0)$

$\displaystyle x = \pm a = \pm \sqrt{\frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}} $

を満たす.よって

$\displaystyle a^2 = \frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2} $

となり $v^2 = 4a^2(a^2 - u)$という放物線に写される.

2.

(a) $z = x + iy$$w = u + iv$とおくと

$\displaystyle u + iv = z^3 = (x + iy)^3 = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2 y - y^3) $

より $u = x^3 - 3xy^2,  v = 3x^2 y -y^3$

(b) $z = x + iy$$w = u + iv$とおくと

$\displaystyle u + iv = \frac{z}{z+1} = \frac{z(\bar{z} + 1)}{\vert z + 1\vert^2} = \frac{\vert z\vert^2 + z}{\vert z+1\vert^2} $

ここで, $\vert z\vert^2 = x^2 + y^2$に注意すると

$\displaystyle u + iv = \frac{x^2 + y^2 + x + iy}{(x+1)^2 + y^2}$

したがって, $u = \frac{x^2 + y^2 + x}{(x+1)^2 + y^2},  v = \frac{y}{(x+1)^2 + y^2}$

(c) $z = x + iy$$w = u + iv$とおくと

$\displaystyle u + iv = \frac{z - i}{z + i} = \frac{(z-i)(z-i)}{\vert z + i\vert^2} = \frac{(x + i(y-1))^2}{\vert z+i\vert^2} $

ここで, $\vert z+i\vert^2 = x^2 + (y+1)^2$に注意すると

$\displaystyle u + iv = \frac{x^2 - (y-1)^2 + 2ix(y-1)}{x^2 + (y+1)^2}$

したがって, $u = \frac{x^2 - (y-1)^2}{x^2 + (y+1)^2},  v = \frac{2x(y-1)}{x^2 + (y+1)^2}$