2.1 複素数の関数

1. $z = x + iy$ ， $w = u + iv$ より $w = z^2$ を計算すると

$\displaystyle w = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy) = u + iv$

これより

$u = x^2 - y^2$

，

$v = 2xy$

となる．次に，この式を $x,y$

$x,y$

について解く．

$v = 2xy$

より $y = \frac{v}{2x}$ ．これを $u = x^2 - y^2$

$u = x^2 - y^2$

に代入すると

$\displaystyle u = x^2 - (\frac{v}{2x})^2 = x^2 - \frac{v^2}{4x^2}$

両辺を

$4x^2$

倍すると

$\displaystyle 4x^4 - 4x^2 u - v^2 = 0$

これは

$x^2$

についての2次式と考えることができる．つまり $x^2 = X$

$x^2 = X$

とおく．よって，解の公式から

$\displaystyle x^2 = \frac{2u \pm \sqrt{4u^2 + 4v^2}}{4} = \frac{u \pm \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$

ここで，

$x$

は実部であることに注意すると，

$\displaystyle x^2 = \frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$

これより

$\displaystyle x = \pm \sqrt{\frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}}$

を得る．次に

$y$

を求める．

$u = x^2 - y^2$

より

$\displaystyle y^{2} = x^2 - u = \frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2} - u = \frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$

よって

$\displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}}$

次に $z$ 平面の実軸に平行な直線 $y = \pm b (b > 0)$ がどんな曲線に写されるか考える．上の式から $y = \pm b$ は

$\displaystyle y = \pm b = \pm \sqrt{\frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}}$

を満たす．よって

$\displaystyle b^2 = \frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$

となり

$v^2 = 4b^2(b^2 + u)$

という放物線に写される．

同様に， $z$ 平面の虚軸に平行な直線 $x = \pm a (a > 0)$ は

$\displaystyle x = \pm a = \pm \sqrt{\frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}}$

を満たす．よって

$\displaystyle a^2 = \frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$

となり

$v^2 = 4a^2(a^2 - u)$

という放物線に写される．

2.

(a) $z = x + iy$ ， $w = u + iv$ とおくと

$\displaystyle u + iv = z^3 = (x + iy)^3 = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2 y - y^3)$

より

$u = x^3 - 3xy^2, v = 3x^2 y -y^3$

．

(b) $z = x + iy$ ， $w = u + iv$ とおくと

$\displaystyle u + iv = \frac{z}{z+1} = \frac{z(\bar{z} + 1)}{\vert z + 1\vert^2} = \frac{\vert z\vert^2 + z}{\vert z+1\vert^2}$

ここで， $\vert z\vert^2 = x^2 + y^2$ に注意すると

$\displaystyle u + iv = \frac{x^2 + y^2 + x + iy}{(x+1)^2 + y^2}$

したがって， $u = \frac{x^2 + y^2 + x}{(x+1)^2 + y^2}, v = \frac{y}{(x+1)^2 + y^2}$ ．

(c) $z = x + iy$ ， $w = u + iv$ とおくと

$\displaystyle u + iv = \frac{z - i}{z + i} = \frac{(z-i)(z-i)}{\vert z + i\vert^2} = \frac{(x + i(y-1))^2}{\vert z+i\vert^2}$

ここで， $\vert z+i\vert^2 = x^2 + (y+1)^2$ に注意すると

$\displaystyle u + iv = \frac{x^2 - (y-1)^2 + 2ix(y-1)}{x^2 + (y+1)^2}$

したがって， $u = \frac{x^2 - (y-1)^2}{x^2 + (y+1)^2}, v = \frac{2x(y-1)}{x^2 + (y+1)^2}$ ．