1.1 複素数と複素平面

$\displaystyle \bar{z_{1} + z_{2}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \bar{x_{1} + iy_{1} + x_{2} + iy_{2}} = x_{1} + x_{2} + i(y_{1} + y_{2})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x_{1} + x_{2} - i(y_{1} + y_{2}) = x_{1} - iy_{1} + x_{2} - iy_{2} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$

$\displaystyle \bar{z_{1}z_{2}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \bar{(x_{1} + iy_{1})(x_{2} + iy_{2})} = \bar{x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} - i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}) = (x_{1} - iy_{1})(x_{2} - iy_{2})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \bar{z_{1}}\bar{z_{2}}$

$\displaystyle \frac{z + \bar{z}}{2}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \frac{x + iy + x - iy}{2} = x = Re{z}$

$\displaystyle \Re{z} = \frac{z + \bar{z}}{2} \leq \frac{\vert z\vert + \vert z\vert}{2} = \vert z\vert$

$\displaystyle \vert z_{1} + z_{2}\vert^2$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (z_{1} + z_{2})\bar{z_{1} + z_{2}} = \vert z_{1}\vert^2 + z_{1}\bar{z_{2}} + \bar{z_{1}}z_{2} + \vert z_{2}\vert^2$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vert z_{1}\vert^2 + 2\Re{z_{1}\bar{z_{2}}} + \vert z_{2}\vert^2 \leq \vert z_{1}\vert^2 + 2\vert z_{1}\vert \vert z_{2}\vert + \vert z_{2}\vert^2$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\vert z_{1}\vert + \vert z_{2}\vert)^2$

$\displaystyle \vert\vert z_{1}\vert - \vert z_{2}\vert\vert^2 = \vert z_{1}\ver... ...2 - 2\Re{z_{1}\bar{z_{2}}} + \vert z_{2}\vert^2 \leq \vert z_{1} - z_{2}\vert^2$

(a) 直交形式から極形式は $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ ただし， $- \pi < \theta \leq pi$ ．

を極形式に変換するには， $r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ と $\theta = \tan^{-1}{-1} = -\frac{\pi}{4}$ を求めればよい．これより

$\displaystyle -1 + i = \sqrt{2}e^{-pi i/4}$

(b) 直交形式から極形式は $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ ただし， $- \pi < \theta \leq pi$ ．

$3 - \sqrt{3}i$ を極形式に変換するには， $r = \sqrt{(3)^2 + (\sqrt{3}^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ と $\theta = \tan^{-\sqrt{3}}{3} = -\frac{\pi}{6}$ を求めればよい．これより

$\displaystyle 3 - \sqrt{3} i = 2\sqrt{3}e^{-pi i/6}$

$\displaystyle -1 = -1 + 0i = e^{pi}$

(d) 直交形式から極形式は $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ ただし， $- \pi < \theta \leq pi$ ．

$\displaystyle 2i = 0 + 2i = 2e^{pi/2}$

(a) $\arg{z}$ とは $x$

軸と原点から点

に引いた直線のなす角である．よってこれが一定ということは，点 $z$

の集まりは原点から

軸と一定の角をなす点となるので，直線である．

別解 $\arg{z} = 一定$ とはある定数 $c$

で $\tan^{-1}{(y/x)} = c$ のことである．よって $\frac{y}{x} = \tan{c}$ より $y = \tan{c}x$ つまり，原点から放たれた直線である．

(b) $\vert z\vert = 一定$ とは原点からの距離が一定のことである．したがって円を描く．

別解 $\vert z\vert = \sqrt{x^2 + y^2}$ より $\vert z\vert = 一定$ ならば， $\sqrt{x^2 + y^2} = c$ ．よって ${x^2 + y^2} = c^2$ で円．

からの距離．この2つが等しい点の集まりは，点1と点 $i$

を通る垂直2等分線である．

別解 $\vert z-1\vert = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$ ， $\vert z-i\vert = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$ より $\vert z - 1\vert = \vert z - i\vert$ を書き直すと

$\displaystyle \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$

$\displaystyle (x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2 \Rightarrow 2x - 2y = 0 \Rightarrow y = x$

(d) $\vert z-2i\vert$ とは点2iからの距離．よって $\vert z - 2i\vert = 3$ は中心 $2i$

で半径が3の円を描く．

別解 $\vert z-2i\vert = \sqrt{x^2 + (y-2)^2}$ より $\vert z - 2i\vert = 3$ を書き直すと

$\displaystyle {x^2 + (y-2)^2} = 3^2$

(e) $\vert z+3\vert$ とは $\vert z - (-3)\vert$ のことであるから点(-3)からの距離． $\vert z-1\vert$ は点1からの距離．よって $\vert z + 3\vert = 3\vert z - 1\vert$ は点-3からの距離が点1からの距離の3倍になっている点 $z$

の集まり．このような点は点-3と点1を結ぶ直線を3:1に内分する点と外分する点を直径とする円を描く．この円をアポロ二ウスの円という．

別解 $\vert z+3\vert = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$ ， $3\vert z-1\vert = 3\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$ より $\vert z + 3\vert = 3\vert z - 1\vert$ を書き直すと