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例題 曲面 $x^2y + 2xz = 4$上の点P$(2,-2,3)$における法線単位ベクトル${\bf n}$を求めよ．

Answer $\phi(x,y,z) = x^2 y + 2xz $の勾配 $\nabla \phi$は点Pでこの曲面 $\phi(x,y,z) = 4$に直交する．したがって， 単位法ベクトル $\boldsymbol{n}$は

$\displaystyle \boldsymbol{n} = \frac{(\nabla \phi)_{P}}{\vert\nabla \phi\vert _{P}}$

ここで， $(\nabla \phi)_{P} = (2xy +2z)\boldsymbol{i} + x^2 \boldsymbol{j} + 2x\boldsymbol{k})\mid_{(2,-2,3)} = -2\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} + 4\boldsymbol{k}$より，

$\displaystyle \boldsymbol{n} = \frac{-2\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} + 4\bol... ... + 16 + 16}} = \frac{1}{3}(-\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} + 2\boldsymbol{k})$