StokesTheorem

例題 $\displaystyle{\boldsymbol{F} = -y\boldsymbol{i} + x\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}, \ S: z = (4 - x^2 - y^2)^{1/2}}$ のとき，Stokesの定理が成り立つことを示せ．

解答 $S$ の境界 $\partial S$ は $x^2 + y^2 = 4$ の円となります．よって位置ベクトル $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k} = 2\cos{t}\boldsymbol{i} + 2\sin{t}\boldsymbol{j}$ より線積分を求めると

$\displaystyle \oint_{\partial S}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \oint_{\partial S}(-2\sin{t}\boldsymbol{i} + 2\cos{t}\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k})\cdot(-2\sin{t}\boldsymbol{i} + 2\cos{t}\boldsymbol{j})dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}[4\sin^{2}{t} + 4\cos^{2}{t}]dt = 8\pi$

次に面積分を求めてみます．

$\displaystyle \nabla \times \boldsymbol{F} = \left\vert\begin{array}{ccc} \bol... ...c{\partial}{\partial z}\\ -y & x & 1 \end{array}\right\vert = 2\boldsymbol{k}$

次に法線単位ベクトルを求めると

$\displaystyle \boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y} = \left\vert\begin{a... ...t\vert = \frac{x}{z}\boldsymbol{i} + \frac{y}{z}\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}$

となるので

$\displaystyle \boldsymbol{n} = \frac{ \frac{x}{z}\boldsymbol{i} + \frac{y}{z}\b... ... \frac{x}{z}\boldsymbol{i} + \frac{y}{z}\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}\Vert }$

これより，

$\displaystyle \iint_{S}(\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot\boldsymbol{n} dS$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\iint_{S}\boldsymbol{k} \cdot\frac{\boldsymbol{r}_{x} \times \bo... ...bol{r}_{y} \Vert} \Vert\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y} \Vert dx dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\iint_{\Omega}\boldsymbol{k} \cdot\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y} dx dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \iint_{\Omega}2 dx dy = 2(4\pi) = 8 \pi$

よってStokesの定理が成り立つことが示せました．

この文書について...