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例題 線積分 $\displaystyle{\int_{C}(x^3 + y^4)ds}$ を求めよ．ただし， $C$ は点 $(0,0,0)$ と $(1,1,1)$ を結ぶ直線とする．

解答 点 $(0,0,0)$ と点 $(1,1,1)$ を結ぶ直線をパラメター表示すると

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x = t\\ y = t\\ z = t \end{array}\right. \ \ 0 \leq t \leq 1$

となります．よって曲線 $C$ は $\boldsymbol{r}(t) = t\:\boldsymbol{i} + t\:\boldsymbol{j} + t\:\boldsymbol{k}$ で表され，曲線 $C$ の弧長 $s$ は

$\displaystyle s(t) = \int_{0}^{t}\vert\frac{d \boldsymbol{r}}{dt}\vert dt = \in... ...}^{t} \vert\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}\vert dt = \sqrt{3}t$

となります．これより $ds = \sqrt{3}dt$ となり，求める線積分は

$\displaystyle \int_{C}(x^3 + y^4)ds = \int_{0}^{1} (t^3 + t^4) \sqrt{3}dt = \sqrt{3}(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{9\sqrt{3}}{20}$

．