IndependentPath

例題線積分 $\displaystyle{\int_{(0,0,0)}^{(4,1,2)}(3ydx + 3xdy + 2zdz)}$ を求めよ．

解答 Fがポテンシャル $f$ を持つことを示す．

$\displaystyle f_x = F_1 = 3y, f_y = F_2 = 3x, f_z = F_3 = 2z$

より

$\displaystyle f = \int f_x dx = 3xy + g(y,z), f_y = 3x + g_{y}(y,z) = 3x$

これより， $g_{y}(y,z) = 0$ 次に， $f_z = g_{z}(y,z) = 2z$ より， $g(y,z) = z^2$

. したがって，

$\displaystyle f = 3xy + z^2$

${\bf F}$ がポテンシャルを持つので，この積分は積分経路に無関係．したがって，始点と終点での値が分かれば積分は完了する．

$\displaystyle \int_{(0,0,0)}^{(4,1,2)}(3ydx + 3xdy + 2zdz) = f(4,1,2) - f(0,0,0) = 16$