DirectionalDerivative

例題点

におけるスカラー関数 $f$

の $\boldsymbol{a}$ 方向への方向微分を求めよ．

$\displaystyle f = x^2 + 3y^2 + 4z^2, P:(1,0,1), \boldsymbol{a} = -\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$

Answer $f$ の点 $P(1,0,1)$ における $\boldsymbol{u}$ 方向への方向微分係数は

$\displaystyle \frac{\partial f(1,0,1)}{\partial u} = \nabla f(1,0,1)\cdot {\bf u}$

ただし， $\boldsymbol{u}$ は方向単位ベクトルである．つまり， $\boldsymbol{u} = \frac{\boldsymbol{a}}{\vert\boldsymbol{a}\vert}$

$\displaystyle \frac{\partial f(1,0,1)}{\partial u} = \nabla \phi(1,0,-2) \cdot{\bf u}$

$\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$ より，

$\displaystyle \boldsymbol{u} = \frac{-\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}}{\sqrt{3}}$

また， $\nabla f = 2x\boldsymbol{i} + 6y\boldsymbol{j} + 8z\boldsymbol{k}$ . したがって，方向微分係数は

$\displaystyle \nabla f(1,0,1)\cdot u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (2\boldsymbol{i} + 8\boldsymbol{k}) \cdot \frac{-\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}}{\sqrt{3}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{2 + 8}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$