\underline{1}

例題 1 個のさいころを 6 回投げるとき， 1 の目が 1 回出る確率を求めよ．解答まず，場合の数を使って確率を求めてみましょう． X_{i} = [6 回中 i 回 1 の目がでる] とおきます．

さいころを 6 回投げると，目のでかたは全部で_{6}Π_{6} = 6^{6} 通りあります．次に 1 の目が 6 回中 1 回出る場合の数は何通りあるか数えてみましょう．

一投目で 1 の目が出ると，残りの 5 回は 1 以外なので，_{5}Π_{5} 通り．同じことが二投目，三投目， ... でも言えるので，全部で

6C_{1} ·_{5}Π_{5} = 6 · 5^{5}

したがって， 1 の目が 6 回中 1 回出る確率は

P_{r}(X_{1}) = \frac{6 · 5^{5}}{6^{6}} = (\frac{5}{6})^{5}

別解

まず， 1 の目が 1 回出るのは最初の 1 投目でも 2 投目でも 6 投目でもいいので全部で 6 通りあることに注意します．この 6 通りのそれぞれの確率を調べてみましょう．まず， 1 投目で 1 の目が出たとすると

{1 □ □ □ □ □}

となります．このとき， □ の中には 1 の目以外なんでも入ります．よってこのときの確率を求めると，

\frac{1}{6} · \frac{5}{6} · \frac{5}{6} · \frac{5}{6} · \frac{5}{6} · \frac{5}{6} = \frac{1}{6} · (\frac{5}{6})^{5}

となります．これが全部で 6 通りあるので， 1 の目が 1 回出る確率は

6 · \frac{1}{6} · (\frac{5}{6})^{5} = (\frac{5}{6})^{5} = \frac{3125}{7776}

となります．