Probability

例題 1個のさいころを6回投げるとき，1の目が1回出る確率を求めよ．

解答まず，場合の数を使って確率を求めてみましょう． $X_{i} = [6回中i回1の目がでる]$ とおきます．

さいころを6回投げると，目のでかたは全部で ${}_6 \Pi_{6} = 6^6$ 通りあります．次に1の目が6回中1回出る場合の数は何通りあるか数えてみましょう．

一投目で1の目が出ると，残りの5回は1以外なので， ${}_5 \Pi_{5}$ 通り．同じことが二投目，三投目，... でも言えるので，全部で

$\displaystyle {}_6 C_{1} \cdot {}_5 \Pi_{5} = 6 \cdot 5^5$

したがって，1の目が6回中1回出る確率は

$\displaystyle P_{r}(X_{1}) = \frac{6 \cdot 5^5}{6^6} = \left(\frac{5}{6}\right)^5$

別解

まず，1の目が1回出るのは最初の1投目でも2投目でも6投目でもいいので全部で6通りあることに注意します．この6通りのそれぞれの確率を調べてみましょう．まず，1投目で1の目が出たとすると

$\displaystyle \{1 \ \square \ \square \ \square \ \square \ \square \}$

となります．このとき， $\square$ の中には1の目以外なんでも入ります．よってこのときの確率を求めると，

$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5$

となります．これが全部で6通りあるので，1の目が1回出る確率は

$\displaystyle 6 \cdot \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{3125}{7776}$

となります．

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