\underline{1}

例題 0 から 6 までの 7 個の数字を取り出して並べるとき， 5 の倍数となる 4 けたの整数はいくつあるか求めよ．解答ある事柄が何通りの起こり方があるかを考えるとき，その起こり方の個数を場合の数という．

• 順列異なる n 個のものから r 個とって１列に並べる順列の数は

nP_{r} = n(n − 1)(n − 2) ⋯ (n − r + 1) = \frac{n!}{(n − r)!}

である．特に，_{n}P_{n} = n!， 0! = 1 とする．

• 重複順列異なる n 個のものから重複を許して r 個とる順列の数は

nΠ_{r} = n^{r}

• 円順列異なる n 個のものを円形に並べる順列の数は

(n − 1)!

• 同じものを含む順列 n 個の物のうち， p 個， q 個， …, r 個がそれぞれ同じであるとき，これらを１列に並べる順列の数は

\binom{n}{p, q, …, r} = \frac{n!}{p!q! ⋯ r!}, p + q + ⋯ + r = n

問題の解答まず， 5 の倍数は一の位が必ず， 0 か 5 になることに注意します．次に，一の位が 0 の場合と 5 の場合を別々に考えます．

一の位が 0 の場合．

千の位，百の位，十の位は 1 から 6 までの数字を 1 回づつ使うことができるので， 6 個の中から 3 個を取り出し並べる順列の数になるので_{6}P_{3} と表わせます．よって 120 通り

一の位が 5 の場合．

千の位に 0 が使えないので，千の位は 0， 5 以外の 5 通り，百と十の位は一と千の位で用いた数字以外どれでも 1 回づつ使えるので_{5}P_{2} 通り．よって 5 ·_{5}P_{2} = 5 · 5 · 4 = 100 通り

ここで，一の位が 0 の場合と 5 の場合は同時におきないので，全部で

120 + 100 = 220 通り