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例題プラモデルが 25 セットあり，そのうち 2 セットは部品がかけているとする．客が任意に 3 セット選ぶとき，いずれも完全なセットである確率を求めよ．解答次の 1〜3 を満たす試行をベルヌーイ試行という．

1. 各試行において，その事象が発生するか否かのみを問題にする．

2. 各試行は統計的に独立．

3. 対象とする事象が発生する確率は，各試行を通じて一定．

1 回の試行において，ある事象 X が発生する確率を p とする。ｎ回のベルヌーイ試行列において，ちょうど i 回事象 X が発生する確率は

P_{r}(X = i) = \binom{n}{i}p^{i}(1 − p)^{n−i}

で表され，このとき X の確率分布を 2 項分布といい， X ∼ B(n, p) と表す次の 1〜5 の条件を満たすものをポワソン過程という。

1. 事象はいかなる時点でもランダムに発生しうる.

2. 与えられた時間区間での事象の発生は，それと重複しない他の区間に対して独立である.

3. 微小時間 Δt における事象の発生確率は Δt に比例して小さくなっている.

4. 微小時間 Δt の間に事象が２回以上発生する確率は無視できる.

5. 時間 t の間に当該事象が発生する平均発生回数 λ がおおむね５以下である.

X をポワソン過程における事象の発生回数とすると，

P_{r}(X = r) = \frac{λ^{r}}{r!} e^{−λ}

となり， X ∼ P_{o}(λ) と表す。ただし， λ はポワソン過程における事象の平均発生回数. ポワソン過程には，テープの傷，交換台にかかってくる電話，電球の破損などがある.

問題の解答

プラモデルを取り出す試行はベルヌーイ試行． X を部品がかけているプラモデルのセットの数とすると， X ∼ B(3，\frac{2}{25})．よって，選んだ 3 セットが全て完全なセットである確率は

P (X = 0) = \binom{3}{0}(\frac{2}{25})^{0}(1 − \frac{2}{25})^{3} = 0.7789