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例題 プラモデルが25セットあり，そのうち2セットは部品がかけているとする．客が任意に3セット選ぶとき，いずれも完全なセットである確率を求めよ．

解答 次の1～3を満たす試行をベルヌーイ試行という．

  1. 各試行において，その事象が発生するか否かのみを問題にする．
  2. 各試行は統計的に独立．
  3. 対象とする事象が発生する確率は，各試行を通じて一定．
1回の試行において，ある事象$X$が発生する確率を$p$とする。ｎ回のベルヌーイ試行列において，ちょうど$i$回事象$X$が発生する確率は

$\displaystyle P_{r}(X = i) = \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$

で表され，このとき$X$の確率分布を2項分布といい， $X \sim B(n,p)$と表す

次の1～5の条件を満たすものをポワソン過程という。

  1. 事象はいかなる時点でもランダムに発生しうる.
  2. 与えられた時間区間での事象の発生は，それと重複しない他の区間に対して独立である.
  3. 微小時間$\Delta t$における事象の発生確率は$\Delta t$に比例して小さくなっている.
  4. 微小時間$\Delta t$の間に事象が２回以上発生する確率は無視できる.
  5. 時間$t$の間に当該事象が発生する平均発生回数$\lambda$がおおむね５以下である.
$X$をポワソン過程における事象の発生回数とすると，

$\displaystyle P_{r}(X = r) = \frac{\lambda^{r}}{r!}e^{-\lambda}$

となり， $X \sim P_{o}(\lambda)$と表す。ただし，$\lambda$はポワソン過程における事象の平均発生回数. ポワソン過程には，テープの傷，交換台にかかってくる電話，電球の破損などがある.

問題の解答

プラモデルを取り出す試行はベルヌーイ試行． $X$を部品がかけているプラモデルのセットの数とすると， $X \sim B(3，\frac{2}{25})$．よって，選んだ3セットが全て完全なセットである確率は

$\displaystyle P(X = 0) = \binom{3}{0}(\frac{2}{25})^{0}(1 - \frac{2}{25})^{3} = 0.7789$