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例題 3 つの袋の中に次のように赤い玉，白い玉が入っています．袋 1 ：赤い玉 4 つ白い玉 1 つ，袋 2 ：赤い玉 3 つ白い玉 3 つ，袋 3:赤い玉 2 つ白い玉 4 ついずれかの袋から玉を取り出したところ白い玉でした．この玉が袋 2 から取り出された確率を求めよ．解答 A = [取り出した玉が白],E_{1} = [袋 1 から取り出す事象] E_{2} = [袋 2 から取り出す事象] E_{3} = [袋 3 から取り出す事象]

P (E_{2}|A) を求める．ただし， A = A cap Omega = A cap(E_{1} cupE_{2} cupE_{3})

P (E_{2}|A) は P(袋 2—玉が白) と書ける．ここで， P (E_{2}|A) = \frac{P (A∩E_{2})}{P (A)} より， P (A ∩ E_{2}) = P (A|E_{2})P (E_{2}) と表せるので， P(玉が白—袋 2)P(袋 2) ここで， P(玉が白—袋 2) = \frac{3}{6}, P(袋 2)= \frac{1}{3}. また， P (A) = P (A ∩ Ω) = P (A ∩ E_{1}) + P (A ∩ E_{2}) + P (A ∩ E_{3}) より，

P (A) = \frac{1}{5} × \frac{1}{3} + \frac{3}{6} × \frac{1}{3} + \frac{4}{6} × \frac{1}{3} = \frac{41}{90}

したがって，

P (E_{2}|A) = \frac{1/6}{41/90} = \frac{15}{41}