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例題 3つの袋の中に次のように赤い玉，白い玉が入っています．袋1：赤い玉4つ白い玉1つ，袋2：赤い玉3つ白い玉3つ，袋3:赤い玉2つ白い玉4ついずれかの袋から玉を取り出したところ白い玉でした．この玉が袋2から取り出された確率を求めよ．

解答 A = [取り出した玉が白],$E_1$ = [袋1から取り出す事象] $E_2$ = [袋2から取り出す事象] $E_3$ = [袋3から取り出す事象]

$P(E_2\vert A)$を求める．ただし， $A = A \\ cap \\ Omega = A \\ cap (E_1 \\ cup E_2 \\ cup E_3)$

$P(E_2\vert A)$はP(袋2|玉が白)と書ける．ここで， $P(E_2\vert A) = \frac{P(A \cap E_2)}{P(A)}$より， $P(A \cap E_2) = P(A \vert E_2)P(E_2)$と表せるので，P(玉が白|袋2)P(袋2) ここで，P(玉が白|袋2) $= \frac{3}{6}$, P(袋2) $= \frac{1}{3}$. また， $P(A) = P(A \cap \Omega ) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) + P(A \cap E_3)$より，

$\displaystyle P(A) = \frac{1}{5}\times \frac{1}{3} + \frac{3}{6}\times \frac{1}{3} + \frac{4}{6}\times \frac{1}{3} = \frac{41}{90}$

したがって，

$\displaystyle P(E_2\vert A) = \frac{1/6}{41/90} = \frac{15}{41}$