Bayes'Theorem

例題ある患者がある種の症状を訴えてきた．医師の経験から，同じ年齢層の人がその症状を訴えるとき，約5%の人がガンであることを知っている．一方，ある精密検査によって真のガン患者に対しては85%の陽性反応を示し，ガン患者でない人にも5%の陽性反応を示す．もしある患者がその精密検査の結果陽性反応を示した場合，その患者がガン患者である確率を求めよう．

解答 $A = $ 「真のガン患者」， $B = $ 「精密検査で陽性反応がでた患者」とおき，患者がその精密検査の結果陽性反応を示した場合にガン患者である確率を求める．精密検査の結果陽性反応を示した患者がガン患者であるということは， P(ガン患者 $\vert$ 検査で陽性)を求めることである．

	陽性	陰性
ガン患者	0.85	0.15
非ガン患者	0.05	0.95

ここで，P(検査で陽性 $\vert$ ガン患者) = 0.85, P(検査で陽性 $\vert$ 非ガン患者) = 0.05, P(ガン患者) = 0.05

$P(A\vert B)$ は条件付き確率で．

$\displaystyle P(A \vert B) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)}$

ここで，

$\displaystyle B = B \cap \Omega = B \cap (A \cup \bar{A}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{A})$

問題より， $P(B \cap A) = P(A \cap B) = P(A)P(B\vert A) = 0.05*0.85, P(B \cap \bar{A}) = P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A})P(B\vert\bar{A}) = 0.95*0.05$ . したがって，

$\displaystyle P(A \vert B)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{P(B \cap A)}{P(B)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{P(B \cap A)}{P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{0.050.85}{0.050.85+0.95*0.05} = \frac{0.425}{0.9}$

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