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例題 行列 $A$ の階数を求めよう．

$\displaystyle A = \left(\begin{array}{rrrr} 1&-2&5&3\\ 2&3&1&-1\\ 3&8&-3&-5 \end{array}\right) $

解答
$\displaystyle A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 1&-2&5&3\\ 2&3&1&-1\\ 3&8&-3&-5 \end{... ...left(\begin{array}{rrrr} 1&-2&5&3\\ 0&7&-9&-7\\ 0&14&-18&4 \end{array}\right)$  
  $\displaystyle \stackrel{\begin{array}{cc} {}^{\frac{1}{7} \times R_{2}}\\ {}^{-2R_{2} + R_{3}} \end{array}}{\longrightarrow}$ $\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 1&-2&5&3\\ 0&1&\frac{-9}{7}&-1\\ 0&0&... ...rrrr} 1&0&\frac{17}{7}&1\\ 0&1&\frac{-9}{7}&-1\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) .$  

これより $A_{R}$ の階段の数は $2$ となるので ${\rm rank}(A) = 2$. ついでに $A_{R}$ の行ベクトル $\displaystyle{(1,0,\frac{17}{7},1)}$ と $\displaystyle{(0,1,\frac{-9}{7},-1)}$ は $A$ の行空間の基底をなしている．よって行空間の次元は $2$ である．