EigenVector

例題次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ．

$\displaystyle A = \left(\begin{array}{rrr} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{array}\right)$

解答 $\Phi_{A}(t) = \left \vert\begin{array}{rrr} -t & 1 & 1\\ 1 & -t & 1\\ 1 & 1 & -t \end{array}\right \vert = -(t+1)^{2}(t-2).$ よって, $A$ の固有値は $\lambda = 2,-1$ である．次に $A$ の固有ベクトルを求める．

$\lambda = 2$ に対する固有ベクトルは $(A - 2I){\mathbf x} = {\bf0}$ を満たす0でない ${\mathbf x}$ なので, この連立方程式を解くと

$\displaystyle A - 2I$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} -2&1 & 1\\ 1& -2 & 1\\ 1&1&-2 \end{arr... ...htarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 1&-2&1\\ -2&1&1 \end{array}\right)$
	$\displaystyle \stackrel{\begin{array}{cc} {}^{-R_{1} + R_{2}}\\ {}^{2R_{1} + R_{3}} \end{array}}{\longrightarrow}$	$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 0&-3&3\\ 0 & 3&-3 \end{array}... ...rrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 0&1&-1\\ 0 & 0&0 \end{array}\right) .$

これより自由度1となるので $x_{3} = \alpha$ とおくと,

$\displaystyle {\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end... ...alpha \left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right) \ (\alpha \neq 0).$

次に $\lambda = -1$ に対する固有ベクトルは $(A - 3I){\mathbf x} = {\bf0}$ を満たす0でない ${\mathbf x}$ なので, 連立方程式を解くと

$\displaystyle A+ I = \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{arra... ...htarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 0&0&0\\ 0 & 0&0 \end{array}\right)$

となる．これより自由度2となるので $x_{2} = \beta \neq 0, x_{3} = \gamma \neq 0$ とおくと,

$\displaystyle {\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} -x_{2} - x_{3}\\ x_{2}\\ x... ...array}\right) + \gamma \left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right).$

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