例題 次の行列式を求めよ.

$\displaystyle \left \vert \begin{array}{ccccc}
0&0&0&1&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&1\\
1&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0
\end{array}\right\vert$

解答

  $\displaystyle {}$ $\displaystyle \left\vert\begin{array}{rrrrr}
0&0&0&1&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&1\\
1&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0
\end{array}\right\vert$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {\rm sgn}(4,2,5,1,3)1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 \cdot 1 = - sgn(1,2,5,4,3) = sgn(1,2,3,4,5) = +1$  

ここで,用いた $(4,2,5,1,3)$は,行列に1が現れた行が上から順に4行目,2行目,3行目,3行目,5行目だということを表現している.次に,sgnはその並びが$+$$-$かを決める符号である.この決まりは, $(4,2,5,1,3)$が何回の互換(2個ずつの置換)で $(1,2,3,4,5)$になるかで決まる.これが偶数回ならば,$+$で奇数回ならば$-$となる.