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例題 次の行列式を求めよ．

$\displaystyle \det \left(\begin{array}{rrr} 0&-2&0\\ -1&3&1\\ 4&2&1 \end{array}\right) $

解答 行列 $A = (a_{ij})$ を $n$ 次の正方行列とする． $a_{ij}$ の 余因子(cofactor) といわれるものを次のように定義する．

$\displaystyle A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}.$

ここで， 行列 $A$ の行$i$ と列 $j$ を削除して作った$(n-1)$ 次の行列の行列式を $M_{ij}$で表し，小行列式という．

このとき, $A$ の 行列式(determinant)$\det(A)$ を次のように定義する．

$\displaystyle \det{A} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}. $

第$1$行についての余因子展開を行なう．

$\displaystyle \left \vert\begin{array}{rrr} 0&-2&0\\ -1&3&1\\ 4&2&1 \end{arra... ...(-2)\left\vert\begin{array}{rr} -1&1\\ 4&1 \end{array}\right\vert + 0 = -10 . $