VofParameter

例題次の初期値問題を解け．

$\displaystyle y^{\prime\prime} + y = \sec{x}$

解補助方程式 $L(y) = 0$ の特性方程式は $m^{2} + 1 = 0$ より特性根 $m = \pm i$ を得る．よって余関数は

$\displaystyle y_{c} = c_{1}\cos{x} + c_{2}\sin{x}$

で与えられる．次に特殊解 $y_{p}$ を求める．定数変化法より

$\displaystyle y_{p} = u_{1}\cos{x} + u_{2}\sin{x}$

とおくと，

$\displaystyle u_{1}^{\prime} = \frac{-\sin{x}\sec{x}}{\left\vert\begin{array}{r... ...begin{array}{rr} \cos{x}&\sin{x} \\ -\sin{x}&\cos{x} \end{array}\right\vert}.$

よって

$\displaystyle u_{1}^{\prime} = -\sin{x}\frac{1}{\cos{x}} = -\tan{x},\ u_{2}^{\prime} = \cos{x}\frac{1}{\cos{x}} = 1$

となる．積分すると

$\displaystyle u_{1} = \log{\vert\cos{x}\vert} , \ u_{2} = x \ ($ 定数無視 $\displaystyle )$

となるので，これより一般解

$\displaystyle y = y_{c} + y_{p} = c_{1}\cos{x} + c_{2}\sin{x} + (\log{\vert\cos{x}\vert})\cos{x} + x\sin{x}$

を得る．ここで，初期値 $y(0) = 0, y'(0) = 1$

を用いると． $1 = c_{1}, 1 = c_{2}$ となるので，

$\displaystyle y = \cos{x} + \sin{x} + (\log{\vert\cos{x}\vert})\cos{x} + x\sin{x}$

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