SeparableDFQ

例題次の微分方程式の初期値問題を解け．

$\displaystyle (\sin{x})y^{\prime} + (\cos{x})y = 0, y(\frac{\pi}{2}) = 1$

解答変数を分離すると

$\displaystyle \frac{y^{\prime}}{y} = - \frac{\cos{x}}{\sin{x}}$

ここで両辺を積分すると

$\displaystyle \int \frac{dy}{y} = - \int \frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx$

より

$\displaystyle \log{\vert y\vert} = - \log{\vert\sin{x}\vert} + c$

ここで両辺に指数をとると

$\displaystyle \vert y\vert = e^{- \log{\vert\sin{x}\vert} + c} = e^{- \log{\vert\sin{x}\vert}} \cdot e^{c}$

$c$

は任意の定数より $e^{c}$ を $C$

$C$

を用いて表わす。これより

$\displaystyle \vert y\vert = C \frac{1}{\vert\sin{x}\vert}$

次に $y = \pm C \frac{1}{\vert\sin{x}\vert}$ となるが $\pm C$ はまた定数なので $C$

$C$

を用いて表わすと

$\displaystyle y = C \frac{1}{\vert\sin{x}\vert}$

最後に $\sin{x}$ の絶対値をはずすと $y = \pm C \sin{x}$ となるが $\pm C$ はまた定数なので $C$

$C$

を用いて表わすと

$\displaystyle y = \frac{C}{\sin{x}}$

このように同じ

$C$

を用いて異なる値を表わすことを $C$

$C$

の乱用という。最後に初期値 $y(\frac{\pi}{2}) = 1$ を用いると、

$\displaystyle 1 = \frac{C}{1} \Longrightarrow C = 1 \Longrightarrow y = \frac{1}{\sin{x}}$

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