NonHomoSystem

例題次の微分方程式の特殊解を求めよ．

$\displaystyle {\bf X}^{\prime} = \left(\begin{array}{rr} 3&2\\ 1&2 \end{array}\right){\bf X} + \left(\begin{array}{c} e^{2t}\\ 2e^{2t} \end{array}\right)$

解答 $\det(A - \lambda I) = (\lambda - 4)(\lambda - 1) = 0$ より，固有値 $\lambda = 4,1$ ．固有値 $4$ に対する固有ベクトルは $(A - 4 I) = \left(\begin{array}{rr} -1&2\\ 1&-2 \end{array}\right)$ より， $\left(\begin{array}{c} 2\\ 1 \end{array}\right)$ ．したがって ${\bf X}_{1} = \left(\begin{array}{c} 2\\ 1 \end{array}\right)e^{4t}$ は解である．また固有値 $1$ に対する固有ベクトルは $(A - I) = \left(\begin{array}{rr} 2&2\\ 1&1 \end{array}\right)$ より， $\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right)$ である．したがって， ${\bf X}_{2} = \left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right)e^{t}$ も解である．これより基本行列

$\displaystyle \Phi(t) = \left(\begin{array}{rr} 2e^{4t}&e^{t}\\ e^{4t}&-e^{t} \end{array}\right)$

を得る．一般解を求めるには連立方程式

$\displaystyle \Phi {\bf U}^{\prime} = {\bf F}$

を解けばよい．つまり，

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2e^{4t}&e^{t}\\ e^{4t}&-e^{t} \end{array... ...nd{array}\right) = \left(\begin{array}{c} e^{2t}\\ 2e^{2t} \end{array}\right)$

を解けばよいので，Cramerの公式を用いると，

$\displaystyle u_{1}^{\prime} = \frac{\left\vert\begin{array}{rr} e^{2t}&e^{t}\\... ...\ e^{4t}&-e^{t} \end{array}\right\vert} = \frac{-3e^{3t}}{-3e^{5t}} = e^{-2t}$

$\displaystyle u_{2}^{\prime} = \frac{\left\vert\begin{array}{rr} 2e^{4t}&e^{2t}... ...&2e^{2t} \end{array}\right\vert}{-3e^{5t}} = \frac{3e^{6t}}{-3e^{5t}} = -e^{t}$

となるので，積分して，

$\displaystyle u_{1} = -\frac{1}{2}e^{-2t}, \ u_{2} = -e^{t}$

を得る．したがって特殊解は

$\displaystyle {\bf X_{p}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Phi {\bf U} = \left(\begin{array}{rr} 2e^{4t}&e^{t}\\ e^{4t}&-e... ...}\right)\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2}e^{-2t}\\ -e^{t} \end{array}\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \begin{pmatrix}- 2e^{2t}\\ \frac{1}{2}e^{2t} \end{pmatrix}$

で与えられる．

この文書について...