LinearSystemofRepeatedRoots

例題次の微分方程式の基本解を求めよ．

$\displaystyle \left\{\begin{array}{rc} x_{1}^{\prime} =& 2x_{1} - x_{2}\\ x_{2}^{\prime} =& 4x_{1} + 6x_{2} \end{array} \right .$

解答 $\det(A - \lambda I) = \left(\begin{array}{cc} 2-\lambda&-1\\ 4&6-\lambda \end{array}\right) = \lambda^2 - 8\lambda + 16 = (\lambda - 4)^{2}$ より固有値は $\lambda = 4$ である。次に固有値 $\lambda = 4$ に対する固有ベクトル ${\bf C}$ は

$\displaystyle (A - 4I){\bf C} = \left(\begin{array}{cc} -2 & -1\\ 4 & 2 \end{a... ...\ c_{2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)$

をみたす。

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} -2&-1\\ 4&2 \end{array}\right) \Longrightarrow \left(\begin{array}{cc} 1&\frac{1}{2}\\ 0&0 \end{array}\right)$

より $c_{2} = -2\alpha$ とおくと， $c_{1} = \alpha$ となる。したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right)$ である。次に，

$\displaystyle (A - 4I)^2 {\bf C} = {\bf0}, (A - 4I){\bf C} \neq {\bf0}$

を満たす ${\bf C}$ を見つけると

$\displaystyle (A - 4I)^2 = \left(\begin{array}{cc} -2&-1\\ 4&2 \end{array}\right)^2 = \left(\begin{array}{cc} 0&0\\ 0&0 \end{array}\right)$

より， ${\bf C} = \left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta \end{array}\right)$ は $(A - 4I)^2 = {\bf0}$ を満たす。ここでもう一つの条件を満たすように $\alpha,\beta$ を選ぶと， ${\bf C} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)$ となり，2つめの解

$\displaystyle e^{At}{\bf C}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{4t}e^{(A-4I)t}{\bf C} = e^{4t}[{\bf C} + t(A - 4I){\bf C} + \frac{t^2}{2!}(A - 4I)^2 {\bf C}]$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{4t}\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) + \left(... ...array}\right)t\} = e^{4t}\left(\begin{array}{c} 1-3t\\ 1+6t \end{array}\right)$

ここで $\left(\begin{array}{c} 1\\ -2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1-3t\\ 1+6t \end{array}\right)$ は1次独立なので，基本解は次のように表わすことができる。

$\displaystyle \Phi = \begin{pmatrix} 1 & 1-3t \\ -2 & 1+6t \end{pmatrix}e^{4t}$

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