例題 次の連立微分方程式を解け．

$${\bf X}^{\prime} = \left(\begin{array}{rrr} 1&-1&1\\ 1&1&-1\\ 2&-1&0 \end{array}\right){\bf X}$$

解答

$$\det(A - \lambda I) = \left(\begin{array}{rrr} 1-\lambda&-1&1\\ ... ...\\ 2&-1&-\lambda \end{array}\right) = -(\lambda + 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$$

より固有値は $\lambda = 2, 1, -1$である．次に固有値 $\lambda = 2$に対する固有ベクトル${\bf C}$は

$$(A - 2I){\bf C} = \left(\begin{array}{rrr} -1&-1&1\\ 1&-1&-1\\ ... ...ght)\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{array}\right) = {\bf0}$$

を満たす0でない解よりGaussの消去法(Gaussian elimination)を用いて解く．

$$A - 2I = \left(\begin{array}{rrr} -1&-1&1\\ 1&-1&-1\\ 2&-1&-2 \end{array... ...ghtarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&-1&1\\ 0&-2&0\\ 0&1&0 \end{array}\right)$$

$$\stackrel{\begin{array}{c} {}_{R_{2} \leftrightarrow R_{3}}\\ {}... ..._{3}+R_{2}\to R_{2}}\\ {}_{R_{3}+R_{1}\to R_{1}} \end{array}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

より$c_{3}$は任意の定数，$c_{2} = 0$, $c_{1} = -c_{3}$となる．したがって，固有ベクトルCは $\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)$で表わされ， ${\bf X}_{1} = \left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)e^{2t}$はこの微分方程式のひとつの解である．
固有値 $\lambda = 1$に対する固有ベクトルは

$$A - I = \left(\begin{array}{rrr} 0&-1&1\\ 1&0&-1\\ 2&-1&-1 \end{array}\... ...htarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&0&-1\\ 0&-1&1\\ 0&-1&1 \end{array}\right)$$

$$\stackrel{\begin{array}{c} {}_{-1 \times R_{2}\to R_{2}} \\ {}_{-R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \end{array}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&0&-1\\ 0&1&-1\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

より $\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)$で表わされ， ${\bf X}_{2} = \left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)e^{t}$もこの微分方程式のひとつの解である．同様に固有値 $\lambda = -1$に対する固有ベクトルは

$$A + I = \left(\begin{array}{rrr} 2&-1&1\\ 1&2&-1\\ 2&-1&1 \end{array}\r... ...htarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&2&-1\\ 0&-5&3\\ 0&-5&3 \end{array}\right)$$

$$\stackrel{\begin{array}{c} {}_{-\frac{1}{5} \times R_{2}\to R_{2}... ... R_{3}}\\ {}_{\frac{2R_{2}}{5} + R_{1}\to R_{1}} \end{array}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&0&1/5\\ 0&1&-3/5\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

より $\left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 5 \end{array}\right)$で表わされ， ${\bf X}_{3} = \left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 5 \end{array}\right)e^{-t}$もこの微分方程式のひとつの解である．ここで ${\bf X}_{1},{\bf X}_{2},{\bf X}_{3}$は一次独立なので ${\bf X} = c_{1}{\bf X}_{1} + c_{2}{\bf X}_{2} + c_{3}{\bf X}_{3}$は一般解になると思われる．次の定理で述べるが，確かにこれは一般解である．よって一般解は

$${\bf X} = c_{1}\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\ri... ...ight)e^{t} + c_{3}\left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 5 \end{array}\right)e^{-t}$$

で与えられる．このとき，それぞれのベクトルを成分とする行列

$$\Phi = \begin{pmatrix} -e^{2t} & e^{t} & -e^{-t}\\ 0 & e^{t} & 3e^{-t}\\ e^{2t} & e^{t} & 5e^{-t} \end{pmatrix}$$

を基本行列という．