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例題次の連立微分方程式を解け．

$\displaystyle {\bf X}^{\prime} = \left(\begin{array}{rrr} 1&-1&1\\ 1&1&-1\\ 2&-1&0 \end{array}\right){\bf X}$

解答

$\displaystyle \det(A - \lambda I) = \left(\begin{array}{rrr} 1-\lambda&-1&1\\ ... ...\\ 2&-1&-\lambda \end{array}\right) = -(\lambda + 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$

より固有値は $\lambda = 2, 1, -1$ である．次に固有値 $\lambda = 2$ に対する固有ベクトル ${\bf C}$ は

$\displaystyle (A - 2I){\bf C} = \left(\begin{array}{rrr} -1&-1&1\\ 1&-1&-1\\ ... ...ght)\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{array}\right) = {\bf0}$

を満たす0でない解よりGaussの消去法(Gaussian elimination)を用いて解く．

$\displaystyle A - 2I$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} -1&-1&1\\ 1&-1&-1\\ 2&-1&-2 \end{array... ...ghtarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&-1&1\\ 0&-2&0\\ 0&1&0 \end{array}\right)$
	$\displaystyle \stackrel{\begin{array}{c} {}_{R_{2} \leftrightarrow R_{3}}\\ {}... ..._{3}+R_{2}\to R_{2}}\\ {}_{R_{3}+R_{1}\to R_{1}} \end{array}}{\longrightarrow}$	$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)$

より $c_{3}$ は任意の定数， $c_{2} = 0$ , $c_{1} = -c_{3}$ となる．したがって，固有ベクトルCは $\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)$ で表わされ， ${\bf X}_{1} = \left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)e^{2t}$ はこの微分方程式のひとつの解である．
固有値 $\lambda = 1$ に対する固有ベクトルは

$\displaystyle A - I$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0&-1&1\\ 1&0&-1\\ 2&-1&-1 \end{array}\... ...htarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&0&-1\\ 0&-1&1\\ 0&-1&1 \end{array}\right)$
	$\displaystyle \stackrel{\begin{array}{c} {}_{-1 \times R_{2}\to R_{2}} \\ {}_{-R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \end{array}}{\longrightarrow}$	$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1&0&-1\\ 0&1&-1\\ 0&0&0 \end{array}\right)$

より $\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)$ で表わされ， ${\bf X}_{2} = \left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)e^{t}$ もこの微分方程式のひとつの解である．同様に固有値 $\lambda = -1$ に対する固有ベクトルは

$\displaystyle A + I$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2&-1&1\\ 1&2&-1\\ 2&-1&1 \end{array}\r... ...htarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&2&-1\\ 0&-5&3\\ 0&-5&3 \end{array}\right)$
	$\displaystyle \stackrel{\begin{array}{c} {}_{-\frac{1}{5} \times R_{2}\to R_{2}... ... R_{3}}\\ {}_{\frac{2R_{2}}{5} + R_{1}\to R_{1}} \end{array}}{\longrightarrow}$	$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1&0&1/5\\ 0&1&-3/5\\ 0&0&0 \end{array}\right)$

より $\left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 5 \end{array}\right)$ で表わされ， ${\bf X}_{3} = \left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 5 \end{array}\right)e^{-t}$ もこの微分方程式のひとつの解である．ここで ${\bf X}_{1},{\bf X}_{2},{\bf X}_{3}$ は一次独立なので ${\bf X} = c_{1}{\bf X}_{1} + c_{2}{\bf X}_{2} + c_{3}{\bf X}_{3}$ は一般解になると思われる．次の定理で述べるが，確かにこれは一般解である．よって一般解は

$\displaystyle {\bf X} = c_{1}\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\ri... ...ight)e^{t} + c_{3}\left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 5 \end{array}\right)e^{-t}$

で与えられる．このとき，それぞれのベクトルを成分とする行列

$\displaystyle \Phi = \begin{pmatrix} -e^{2t} & e^{t} & -e^{-t}\\ 0 & e^{t} & 3e^{-t}\\ e^{2t} & e^{t} & 5e^{-t} \end{pmatrix}$

を基本行列という．

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