LinearDFQ

例題次の微分方程式の初期値問題を解け．

$\displaystyle (\cos{x})y^{\prime} - (\sin{x})y = -e^{x}, y(0) = 1$

解答この方程式は1階の線形である。標準形に直すと

$\displaystyle y^{\prime} - \frac{\sin{x}}{\cos{x}} y = - \frac{e^{x}}{\cos{x}}$

積分因子 $\mu$ は

$\displaystyle \mu = \exp( -\int \frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx) = \exp(\log{\cos{x}}) = \cos{x}$

これを標準形にかけると

$\displaystyle \cos{x}y^{\prime} - \sin{x} y = - e^{x}$

このとき左辺は積分因子かける従属変数 $y$

の導関数なので

$\displaystyle (\cos{x} y)^{\prime} = - e^{x}$

この両辺を

で積分すると

$\displaystyle \cos{x} y = - \int e^{x} dx = - e^{x} + c$

よって一般解は

$\displaystyle y = \frac{c - e^{x}}{\cos{x}}$

ここで，初期条件

を用いると，

$\displaystyle y = \frac{2 - e^{x}}{\cos{x}}$