IntegratingFactor

例題次の微分方程式が完全微分形になるような積分因子を求めよ．

$\displaystyle (x - y^{2})dx + 2xydy = 0$

解答 $M_{y} = -2y, \ N_{x} = 2y$ より完全微分形ではない。そこで積分因子を捜す。 $M_{y} - N_{x} = - 4y$ より $(1/N)[M_{y} - N_{x}]$ を計算すると

$\displaystyle \frac{1}{N}(M_{y} - N_{x}) = \frac{-4y}{2xy} = \frac{-2}{x}$

これは

だけの関数なので積分因子は

$\displaystyle \mu = \exp(- \int \frac{2}{x} dx) = \exp(-2 \log{x}) = \frac{1}{x^{2}}$

で与えられる