HomoDFQ

例題次の初期値問題を解け． $y^{\prime} = \frac{x - y}{x + y}, y(0) = 1$

解 $M(x,y),N(x,y)$ ともに一次の同次関数．右辺の分子と分母を $x$ で割ると

$\displaystyle y^{\prime} = \frac{1 - (y/x)}{1 + (y/x)} = f(\frac{y}{x})$

であるから，同次形である．そこで上で説明したように $y = vx$

とおくと，

$\displaystyle v^{\prime}x + v = \frac{1 - v}{1 + v}$

となる．これより

$\displaystyle v^{\prime}x = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - v - v - v^{2}}{1 + v}$

または

$\displaystyle \frac{1 + v}{v^{2} + 2v - 1}v^{\prime} = -\frac{1}{x}$

を得る．両辺を積分して

$\displaystyle \frac{1}{2}\log{\vert v^{2} + 2v - 1\vert} = -\log{(cx)},$

ただし，

は任意定数．よって

$\displaystyle (v^{2} + 2v - 1)x^{2} = c_{1}.$

ここで $c_{1} =1/c^{2}$ より任意定数．最後に $v = y/x$

に置き換えて整理すると，一般解は

$\displaystyle y^{2} + 2xy - x^{2} = c_{1}$

ここで、初期値を用いると、 $y(0) = 1$

より、

$\displaystyle y^{2} + 2xy - x^{2} = 1$