BernoulliDFQ

例題次の微分方程式の初期値問題を解け.

$\displaystyle xy^{\prime} - y = -y^{2}, y(1) = 1$

標準形に直すと

$\displaystyle y^{\prime} - \frac{1}{x} y = -\frac{1}{x}y^{2}$

となり，これはBernoulliの方程式である。そこで両辺に $y^{-2}$ をかけて整理すると

$\displaystyle y^{-2}y^{\prime} - \frac{1}{x} y^{1-2} = -\frac{1}{x}$

となる。ここで $u = y^{1-2} = y^{-1}$ とおくと $u^{\prime} = -y^{-2}y^{\prime}$ より

$\displaystyle - u^{\prime} - \frac{1}{x} u = - \frac{1}{x}$

これは

$u$

について線形なので， $u$

$u$

についての標準形に直すと

$\displaystyle u^{\prime} + \frac{1}{x} u = \frac{1}{x}$

となる。そこで積分因子 $\mu$ を求めると $\mu = \exp(\int (1/x) dx) = \exp(\log{x}) = x$ となる。これを $u$

$u$

についての標準形にかけると，左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので

$\displaystyle ( x u)^{\prime} = 1$

となる。この両辺を

$x$

について積分すると

$\displaystyle xu = \int 1 dx = x + c$

より

$\displaystyle u = \frac{x + c}{x}$

ここで $u = y^{-1}$ より

$\displaystyle y^{-1} = \frac{x + c}{x}$

最後に、初期値を用いると $y(1) = 1$

$y(1) = 1$

より

$\displaystyle y^{-1} = \frac{x + 1}{x}$

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