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例題 次の初期値問題を解け．

$\displaystyle y^{\prime\prime\prime} - 3y^{\prime} - 2y = 0, y(0) = y'(0) = y''(0) = 1$

解答 $y = e^{mx}$を解とおくと，特性方程式 $m^3 - 3m - 2 = 0 $を得る.

$\displaystyle m^3 - 3m - 2 = (m + 1)(m^2 - m - 2) = ( m + 1)(m + 1)(m - 2)$

より特性根は $m = -1, -1, 2$.$m = -1,-1$の重解より基本解は

$\displaystyle \{ e^{-x}, xe^{-x}, e^{2x} \} $

で与えられる.これより一般解は

$\displaystyle y = c_{1}e^{-x} + c_{2}xe^{-x} + c_{3}e^{2x}$

となる．ここで初期値を用いると
$\displaystyle 1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c_{1} + c_{3}$  
$\displaystyle 1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -c_{1} + c_{2} + 2c_{3}$  
$\displaystyle 1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c_{1} - 2c_{2} + 4c_{3}$  

この連立方程式をクラメールの公式を用いて解くと，

$\displaystyle c_{1} = \frac{\begin{vmatrix}1&0&1\\ 1&1&2\\ 1&-2&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&1\\ 1&1&2\\ 1&-2&4\end{vmatrix}} = \frac{5}{9}$

同様にして， $c_{2} = \frac{2}{3}, c_{3} = \frac{4}{9}$.　これより，

$\displaystyle y = \frac{5}{9}e^{-x} + \frac{2}{3}xe^{-x} + \frac{4}{9}e^{2x}$