2ndOrderLinear

例題次の初期値問題を解け．

$\displaystyle y^{\prime\prime} - 8y^{\prime} - 9y = 0, y(0) = y'(0) = 1$

解答 $y = e^{mx}$ を解とおくと，特性方程式 $m^2 - 8m - 9 = 0 $ を得る。これより特性根は $m = -1, 9$ 異なる実数解. よって基本解は

$\displaystyle \{e^{-x}, e^{9x} \}$

で与えられる. これより、一般解は

$\displaystyle y = c_{1}e^{-x} + c_{2}e^{9x}$

ここで、初期値

を用いると、

$\displaystyle 1$	$\displaystyle =$	$\displaystyle c_{1} + c_{2}$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -c_{1} + 9c_{2}$

この連立方程式を解くと、 $c_{2} = \frac{1}{5}, c_{1} = \frac{4}{5}$ .　したがって、

$\displaystyle y = \frac{4}{5}e^{-x} + \frac{1}{5}e^{9x}$