1stOrderLinearDFQ

例題次の微分方程式の初期値問題を解け．

$\displaystyle xy^{\prime} + 2y = x^{2}, y(1) = 1$

解この方程式は1階の線形です．標準形に直すと

$\displaystyle y^{\prime} + \frac{2}{x}y = x$

積分因子 $\mu$ は

$\displaystyle \mu = e^{\int \frac{2}{x}}dx = e^{2\log{x}} = x^{2} .$

これを標準形にかけると

$\displaystyle x^{2}y^{\prime} + 2xy = x^{3} .$

このとき左辺は積分因子かける従属変数 $y$

の導関数なので

$\displaystyle \frac{d(x^{2}y)}{dx} = x^{3} .$

この両辺を

で積分すると

$\displaystyle x^{2}y = \int x^{3}dx = \frac{x^{4}}{4} + c .$

よって一般解は

$\displaystyle y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{c}{x^{2}}$

ここで、初期値を用いると $y(1) = 1$

より、

$\displaystyle y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4x^{2}}$