Residue

例題次の関数の特異点での留数を求めよ．

$\displaystyle f(z) = \frac{e^z}{(z-1)(z+2)^2}$

解答特異点とは関数 $f(z)$ が正則でない点のことである．有理関数では分母が0となる点のことである．

基本公式

$\displaystyle \int_{\vert z-a\vert = r}\frac{1}{(z - a)^{n}}\ dz = \left\{\begin{array}{ll} 2\pi i, & n = 1\\ 0, & n \neq 1 \end{array}\right.$

この公式から分かるように，ローラン展開したときに $\frac{1}{z-a}$ の積分は0にならないが，それ以外は全て0になる．このことから積分したときに0とならないものという意味で $\frac{1}{z-a}$ の係数を留数といい， $Res[a]$

と表わす．

留数公式点 $a$ が $f(z)$ の $m$ 位の特異点のとき

$\displaystyle Res[a] = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z -a)^{m}f(z)$

ここでは，留数公式を用いて留数を求める．

$\displaystyle Res[0] = \lim_{z \to 1}(z-1) \frac{e^z}{(z-1)(z+2)^2} = \lim_{z \to 1}\frac{e^z}{(z+2)^2} = \frac{e}{9}$

$\displaystyle Res[-2] = \lim_{z \to -2}\frac{d ((z+2)^2 \frac{e^z}{(z-1)(z+2)^2})}{dz} = \lim_{z \to -2}\frac{ze^z - 2e^z}{(z-1)^2} = \frac{-4e^{-2}}{9}$

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