PolarForm

例題次の複素数を極形式で表せ．

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} 1. & z = 3 - \sqrt{3}i \\ 2. & z = 2i \end{array}\end{displaymath}$

解答複素数 $a+bi$ を複素平面上で表したとき，原点からの距離 $r$ と偏角 $\theta$ を用いて $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$ と表したものを極形式という．したがって， $x+iy = r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})$ .

1. $z = 3 - \sqrt{3}i$ を極形式で表すと， $r = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ . また， $\theta = \tan^{-1}{\frac{-\sqrt{3}}{3}} = -\frac{\pi}{6}$ . よって，

$\displaystyle 2\sqrt{3}(\cos(\frac{-\pi}{6}) + i \sin(\frac{-\pi}{6}).$

を極形式で表すと， $r = \sqrt{0 +2^2} = \sqrt{4} = 2$ . また， $\theta = \tan^{-1}{\infty} = \frac{\pi}{2}$ . よって，

$\displaystyle 2(\cos{\frac{\pi}{2}} + i \sin{\frac{\pi}{2}}).$

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