LaurentExpansion

例題 $0 < \vert z - a\vert < R$ に対して収束するLaurent級数を求めよ．．

$\displaystyle f(z) = \frac{e^z}{z(1-z)},\ a = 1$

解答 $a = 1$ より $z - 1 = t$ とおくと， $z = 1+t$ $f(z) = \frac{e^{1+t}}{(1+t)(-t)}$ .

$\displaystyle e^{1+t} =　 1 + 1+t + \frac{(1+t)^2}{2} + \frac{(1+t)^3}{3!} + \cdots$

したがって，

$\displaystyle \frac{e^{1+t}}{(1+t)(-t)} = \frac{1 + 1+t + \frac{(1+t)^2}{2} + \frac{(1+t)^3}{3!} + \cdots}{(1+t)(-t)}$

ここで， $\vert z-1\vert = \vert t\vert < 1$ のとき，

$\displaystyle \frac{1}{-t} = \frac{1}{1-(1+t)} = 1 + (1+t) + (1+t)^2 + (1+t)^3 + \cdots$

よってLaurent展開は次のようになる．

$\displaystyle \frac{e^{1+t}}{(1+t)(-t)}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\frac{1}{1+t} + 1 + \frac{1+t}{2} + \frac{(1+t)^2}{3!} + \cdots)(1 + (1+t) + (1+t)^2 + (1+t)^3 + \cdots)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1+t} + 2 + \frac{5}{2}(1+t) + \frac{8}{3}(1+t)^2 + \cdots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{z} + 2 + \frac{5}{2}z + \frac{8}{3}z^2 + \cdots$

収束半径 $R = 1$ . $z = 0$ は1位の極であることが分かる．