ExponentialFct

例題

と表すとき，次の関数について $u,v$

を

の関数で表せ．

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} 1. & w = z^3 \\ 2. & z = \frac{z}{z+1} \end{array}\end{displaymath}$

解答 1. $z = x + iy, w = u + iv$ とおくと，

$\displaystyle u + iv = z^3 = (x+iy)^3 = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2y - y^3)$

したがって，

2. $z = x + iy$ ， $w = u+ iv$ とおくと

$\displaystyle u + iv = \frac{z}{z+1} = \frac{z(\bar{z} + 1)}{\vert z + 1\vert^2} = \frac{\vert z\vert^2 + z}{\vert z+1\vert^2}$

ここで， $\vert z\vert^2 = x^2 + y^2$ に注意すると

$\displaystyle u + iv = \frac{x^2 + y^2 + x + iy}{(x+1)^2 + y^2}$

したがって， $u = \frac{x^2 + y^2 + x}{(x+1)^2 + y^2}, \ v = \frac{y}{(x+1)^2 + y^2}$ ．