CauchyIntegralForm

例題次の積分を求めよ．

$\displaystyle \oint_{\vert z\vert = 2}\frac{\cos{z}}{z^2 + 1}$

解答関数 $f(z)$ が領域 $\Omega$ で正則であるとする． $\Omega$ 内に単一閉曲線 $C$ があり， $C$ の内部も $\Omega$ に含まれているとき， $C$ の内部の任意の点 $a$ に対して次の公式が成り立つ．

$\displaystyle f(a) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-a};dz$

$\displaystyle f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\;dz$

この問題では， $f(z) = \cos{z}$ が領域内で正則である．そこで，Cauchyの積分表示がつかえるように，部分分数分解すると，

$\displaystyle \frac{\cos{z}}{z^2 + 1} = \frac{1}{2i}\cos{z}(\frac{1}{z-i} - \frac{1}{z+i})$

$\displaystyle \oint_{\vert z\vert = 2}\frac{\cos{z}}{z^2 + 1} = \frac{1}{2i}(2\pi i \cos(i) - 2\pi i \cos(-i)) = \pi(\cos(i) - \cos(-i)) = 0$